一类特殊函数的稳定点

定义    一般地,对于定义在区间\(D\)上的函数\(y=f(x)\),若存在\(x_0\in D\),使得\(f(x_0)=x_0\),则称\(x_0\)是函数\(y=f(x)\)的一阶不动点,简称不动点;若存在\(x_0\in D\),使\(f(f(x_0))=x_0\),则称\(x_0\)是函数\(y=f(x)\)的二阶不动点,简称稳定点代数角度看,一阶不动点是方程\(f(x)=x\)的根,二阶不动点为方程\(f(f(x))=x\)的根;

几何角度看,一阶不动点是曲线\(y=f(x)\)与直线\(y=x\)的交点的横坐标,二阶不动点是曲线\(y=f(x)\)与曲线\(x=f(y)\)的交点的横坐标(曲线\(y=f(x)\)上关于直线\(y=x\)对称的点的横坐标). 显然函数\(y=f(x)\)的不动点一定是函数\(y=f(x)\)的稳定点,但函数\(y=f(x)\)的稳定点不一定是不动点.如图所示: 不动点与稳定点 其中点\(A\),\(B\)的横坐标为函数\(y=f(x)\)的不动点和稳定点,\(C\),\(D\)的横坐标为函数\(y=f(x)\)的稳定点,但不是不动点. 那什么时候稳定点与不动点是一致的呢,下面给出一个判定定理:

引理 若\(f(x)\)是定义域上的单调递增函数,则它的稳定点必然是它的不动点.

 设\(x_0\)是\(f(x)\)的稳定点,则\(f(f(x_0))=x_0\). 若\(f(x_0)>x_0\),由\(f(x)\)为增函数知\[f[f(x_0)]>f(x_0)=x_0,\]矛盾. 若\(f(x_0)<x_0\),同理可以导出矛盾.所以有\[f(x_0)=x_0.\]


有了这个引理,如果一个函数在定义域上是单调递增的,那么稳定点就可以直接看成不动点,问题便可大大简化,如2013年四川卷理科数学第 10题(选择压轴题):

设函数\(f(x)=\sqrt{{\rm e}^x+x-a}\)(\(a\in\mathcal R\),\(\rm e\)为自然数).若曲线\(y=\sin x\) 上存在\((x_0,y_0)\) 使得\(f(f(y_0))=y_0\),则\(a\) 的取值范围是_______.

   因为\(f(x)\geqslant 0\),\(f(f(y_0))=y_0\),所以\(y_0\geqslant 0\).因为\((x_0,y_0)\)是\(y=\sin x\)上的点,所以\(y_0\in [0,1]\). 函数\(f(x)=\sqrt {{\rm e}^x+x-a}\)在其定义域上单调递增,所以稳定点\(y_0\)即为不动点,故本题转化为函数\(f(x)\)存在区间\([0,1]\)上的不动点,即方程\(f(x)=x\)在\([0,1]\)上有解.方程可整理为\[a={\rm e}^x+x-x^2 (x\in [0,1]).\]设\(g(x)={\rm e}^x+x-x^2\),则\[g'(x)={\rm e}^x+1-2x,\]在\(x\in [0,1]\)上,\({\rm e}^x\in[1,{\rm e}]\),\(1-2x\in[-1,1]\),所以\[g'(x)={\rm e}^x+1-2x\geqslant 0,\]所以\(g(x)\)在\([0,1]\)上单调递增,所以\[g(x)\in [1,{\rm e}].\]故方程\(a={\rm e}^x+x-x^2 (x\in [0,1])\)有根,\(a\in [1,{\rm e}]\).

更多关于稳定点的问题参见每日一题[35]二阶不动点

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