已知函数$f(x)=\begin{cases} 1,x\in\mathcal{Q},\\0,x\in\complement_{\mathcal {R}}{\mathcal {Q}}.\end{cases} $，给出下列三个命题：
①函数$f(x)$为偶函数；
②存在$x_i\in\mathcal{R}(i=1,2,3)$，使得以点$(x_i,f(x_i))(i=1,2,3)$为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在$x_i\in\mathcal{R}(i=1,2,3,4)$，使得以点$(x_i,f(x_i))(i=1,2,3,4)$为顶点的四边形是菱形．
其中，所有真命题的序号是____．
已知 \(F_1\)，\(F_2\) 是椭圆和双曲线的公共焦点，\(P\) 是它们的一个公共点，且 \(\angle F_1PF_2=\dfrac{\pi}{3}\)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（\(\qquad\)）
A．\(\dfrac{4\sqrt3}{3}\)
B．\(\dfrac{2\sqrt3}{3}\)
C．\(3\)
D．\(2\)
已知 \(F_1\) ,\(F_2\)是椭圆和双曲线的公共焦点，\(P\)是它们的一个公共点，且\(\angle{F_1PF_2}=\dfrac{\pi}{3}\)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为____．
设\(a_1\)，\(a_2\)，\(\cdots\)，\(a_n\)是一组不为零的实数．证明：关于\(x\)的方程\(\sqrt{1+a_1 x}+\sqrt {1+a_2x}+\cdots +\sqrt{1+a_nx}=n\)至多有两个实根．
如图，已知\(\triangle ABC\)中，\(\angle BAC=45^\circ\)，\(AD\perp BC\)于点\(D\)，若\(BD=2\)，\(CD=1\)，求\(\triangle ABC\)的面积．
已知函数$f(x)=\left \lvert x^2-ax \right \rvert -2$，且函数$f(x+2)$是偶函数．
（1）求实数$a$的值；
（2）设函数$y=g(x)$，集合$M=\{x|g(x)-x=0\},N=\{x|g(g(x))-x=0\}$．
① 证明$M\subseteq N$；
② 如果$g(x)=f(\lvert x \rvert )$，集合$P=\{x|g(g(x))-x=0\land \lvert x \rvert \leqslant 2 \}$，那么集合$P$中的元素个数为_______．
如图，四面体$OABC$的三条棱$OA,OB,OC$两两垂直，$OA=OB=2$，$OC=3$，$D$为四面体$OABC$外一点．给出下列命题：
①不存在点$D$，使四面体$ABCD$有三个面是直角三角形；
②不存在点$D$，使四面体$ABCD$是正三棱锥；
③存在点$D$，使$CD$与$AB$垂直并且相等；
④存在无数个点$D$，使$O$在四面体$ABCD$的外接球面上．
其中真命题的序号是_____．
如图，矩形\(ABCD\)，\(N\)为平面内一点，连接\(AN,DN\)均与\(BC\)相交，作\(CP\perp AN\)于点\(P\)，\(BQ\perp DN\)于点\(Q\)，两垂线的交点为\(M\)，连接\(MN\)，求证：\(MN\perp AD\)．
已知集合$A=\{x|x=a_0+a_1\times 3+a_2\times 3^2+a_3\times 3^3\}$，其中$a_k\in\{0,1,2\}$，$k=0,1,2,3$，且$a_3\ne 0$．则$A$中所有元素之和等于____．
已知数列$\{a_n\}$的各项均为正整数，对于$n=1,2,3,\cdots$，有\[a_{n+1}=\begin{cases} 3a_n+5,2\nmid a_n,\\\dfrac {a_n}{2^k},2^k||a_n,\end{cases}\]其中$k$为正整数，$2^k||a_n$表示$2^k|a_n$且$2^{k+1}\nmid a_n$．
（1）当$a_1=11$时，$a_{100}=$____；
（2）若存在$m\in\mathcal{N}^*$，当$n>m$且$a_n$为奇数时，$a_n$恒为常数$p$，则$p$的值为_____．
