每日一题[252] 一箭双雕

已知实数列 \(\{a_n\}\)、\(\{b_n\}\)的各项均不为 \(0\),且 \[\begin{cases}a_n=a_{n-1}\cos \theta-b_{n-1}\sin \theta,\\b_n=a_{n-1}\sin \theta+b_{n-1}\cos \theta,\end{cases}\]\(a_1=1\),\(b_1=\tan \theta\),其中\(\theta\)为已知常数,求数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)的通项公式.


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    观察已知条件,联想到复数的运算:\[a_n+b_n{\rm i}=\left(a_{n-1}+b_{n-1}{\rm i}\right)\cdot\left(\cos\theta+{\rm i}\sin\theta\right),\]将\(a_n\)和\(b_n\)分别看作复数\(z_n\)的实部和虚部,即设\(z_n=a_n+b_n{\rm i}(n\in \mathcal N^*)\),则已知中的两个递推式可以合并为\[z_n=z_{n-1}\cdot \left(\cos \theta+\mathrm i\sin \theta\right),n\geqslant 2\land n\in\mathcal N^*.\]于是复数数列 \(\{z_n\}\)是以\(z_1=1+\mathrm i\tan \theta\)为首项,\(\cos \theta+\mathrm i\sin \theta\)为公比的等比数列,易得\[\begin{split}z_n&=(1+\mathrm i\tan \theta)(\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)^{n-1}\\&=\sec \theta\cdot (\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)\cdot (\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)^{n-1}\\&=\sec \theta\cdot (\cos \theta+\mathrm i\sin \theta)^n\\&=\sec\theta\cdot (\cos{ n\theta}+\mathrm i \sin {n\theta})\\&=\sec \theta\cdot \cos {n\theta}+\mathrm i\sec \theta\cdot \sin {n\theta}.\end{split}\]故有\(a_n=\sec \theta\cdot \cos n\theta\),\(b_n=\sec \theta \cdot \sin n\theta\),其中\(n\in\mathcal N^*\).

   本题的顺利解决依赖于熟练掌握复数的乘法运算法则,而复数的乘法法则\[(a+b{\rm i})\cdot (c+d{\rm i})=(ac-bd)+(ad+bc){\rm i}\]中还蕴含着一个重要的恒等式\[\left(a^2+b^2\right)\cdot\left(c^2+d^2\right)=\left(ac-bd\right)^2+\left(ad+bc\right)^2,\]这个恒等式是在代数变形中常用的恒等式,同时也是哈密顿发现四元数的重要铺路石.

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