2015年高考数学新课标I卷（理科）压轴题：
已知函数\(f(x)=x^3+ax+\dfrac 14\),\(g(x)=-\ln x\)．
（1）当\(a\)为何值时，\(x\)轴为曲线\(y=f(x)\)的切线；
（2）用\(\min\{m,n\}\)表示\(m,n\)中的最小值，设函数\(h(x)=\min\left\{f(x),g(x)\right\}(x>0)\)，讨论\(h(x)\)零点的个数．
解 （1）根据已知，\(f'(x)=3x^2+a\)．若\(x\)轴为曲线\(y=f(x)\)的切线，设切点横坐标为\(t\)，则有\[\begin{cases}f(t)=0,\\f'(t)=0,\end{cases}\]即\[\begin{cases}t^3+at+\dfrac 14=0,\\3t^2+a=0,\end{cases}\]解得\[t=\dfrac 12,a=-\dfrac 34.\]所以当\(a\)的值为\(-\dfrac 34\)时，\(x\)轴为曲线\(y=f(x)\)的切线．
（2）注意到\(h(x)\)的定义域为\(\left(0,+\infty\right)\)，而\(f(0)=\dfrac 14\)．我们以点\(\left(0,\dfrac 14\right)\)为出发点研究函数\(f(x)\)与\(g(x)\)图象的位置关系．
函数\(f(x)\)的导函数\[f'(x)=3x^2+a,\]于是当\(a\geqslant 0\)时，函数\(f(x)\)单调递增，如图．
而当\(a<0\)时，函数\(f(x)\)先递减再递增，极小值点为\(A\left(\sqrt{\dfrac{-a}{3}},\dfrac{2a}3\sqrt{\dfrac{-a}3}+\dfrac 14\right)\)．
此时\(f(x)\)的零点个数由\(A\)的纵坐标确定，而\(f(x)\)的零点相对于\(g(x)\)的零点\(x=1\)的分布由\(A\)的横坐标和\(f(1)\)的正负共同确定（即\(B\)点相对于\(x\)轴的位置）．
将三个讨论条件列举出来，分别为\(\dfrac{2a}3\sqrt{\dfrac{-a}3}+\dfrac 14\)与\(0\)、\(\sqrt{\dfrac{-a}{3}}\)与\(1\)，\(a+\dfrac 54\)与\(0\)，因此分界点分别为\(-\dfrac 34\)、\(-3\)、\(-\dfrac 54\)．
第一种情形，\(a<-\dfrac 54\)时，\(A\)、\(B\)均在\(x\)轴下方，\(h(x)\)只有\(1\)个零点，由\(f(x)\)在区间\((0,1)\)上提供；
第二种情形，\(a=-\dfrac 54\)时，\(A\)在\(x\)轴下方，\(B\)在\(x\)轴上，于是\(h(x)\)有\(2\)个零点，其中一个由\(f(x)\)在区间\((0,1)\)上提供，另一个由\(f(x)\)和\(g(x)\)在\(x=1\)处共同提供；
第三种情形，\(-\dfrac 54<a<-\dfrac 34\)时，\(A\)在\(x\)轴下方，\(B\)在\(x\)轴上方，于是\(h(x)\)有\(3\)个零点，其中两个由\(f(x)\)在区间\((0,1)\)上提供，另一个由\(g(x)\)在\(x=1\)处提供；
第四种情形，\(a=-\dfrac 34\)时，\(A\)在\(x\)轴上，于是\(h(x)\)有\(2\)个零点，其中一个由\(f(x)\)在区间\((0,1)\)上提供（即\(A\)点），另一个由\(g(x)\)在\(x=1\)处提供；
第五种情形，\(-\dfrac 34<a<0\)时，\(A\)在\(x\)轴上方，于是\(h(x)\)有\(1\)个零点，由\(g(x)\)在\(x=1\)处提供．
综上，函数\(h(x)\)的零点个数为\[\begin{cases}1,&a<-\dfrac 54\lor a>-\dfrac 34,\\2,&a=-\dfrac 54 \lor a=-\dfrac 34,\\3,&-\dfrac 54<a<-\dfrac 34.\end{cases}\]
在本题中，\(a<0\)时的讨论为重难点，而此时\(f(x)\)的图象酷似北斗七星，其中讨论的出发点为天枢星，关键的讨论点恰好为天璇星与天玑星．在此中秋佳节赏月之际，可以仰望天空回味此题，快哉乐哉！