一、填空题
1、对抛物线\(y^2=2\sqrt 2x\)，若设其焦点为\(F\)，\(y\)轴正半轴上一点为\(N\)．若准线上存在唯一的点\(P\)使得\(\angle NPF=90^\circ\)，则\(N\)点的纵坐标为_______．
2、\(\dfrac{1}{\sqrt 1+\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 2+\sqrt 3}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{255}+\sqrt{256}}=\)______．
3、若已知\(\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{i}-\ln n\right)\)存在，则\(\sum\limits_{i=0}^{+\infty}{\dfrac{(-1)^{i+2}}{i+1}}=\)_______．
4、在边长为\(1\)的正方形中（含边界）取\(9\)个点，其中必有\(3\)个点，它们构成的三角形面积不超过_______．
5、某人打靶打中 8 环、9 环、10 环的概率分别为\(0.15\)、\(0.25\)、\(0.2\)，现他开三枪，不少于\(28\)环的概率为_______．
二、解答题
6、若对任意实数\(x,y\)，有\(f\left((x-y)^2\right)=\left(f(x)\right)^2-2x\cdot f(y)+y^2\)，求\(f(x)\)．
7、求所有\(a,b\)，使\(\left|\sqrt{1-x^2}-ax-b\right|\leqslant \dfrac{\sqrt 2-1}2\)成立，其中\(x\in [0,1]\)．
8、若复数\(z\)满足\(|z|=1\)，求\(\left|z^3-z+2\right|^2\)的最小值．
9、已知三次方程\(x^3+ax^2+bx+c=0\)有三个实根．
（1）若三个实根为\(x_1,x_2,x_3\)，且\(x_1\leqslant x_2\leqslant x_3\)，\(a,b\)为常数，求\(c\)变化时\(x_3-x_1\)的取值范围；
（2）若三个实根为\(a,b,c\)，求\(a,b,c\)．
参考答案
一、填空题
1、\(2\) 提示：斜边\(NF\)的中点\(M\)在抛物线上，坐标为\(\left(\dfrac{\sqrt{2}}4,1\right)\)．
2、\(15\)
3、\(\ln 2\)
4、\(\dfrac 18\)
提示：如图． 
5、\(0.0935\)
二、解答题
6、\(f(x)=x\lor f(x)=x+1\) 提示：令\(x=y\)得\[f(0)=\left(f(x)-x\right)^2,\]再令\(x=0\)可得\(f(0)=0\lor f(0)=1\)．
7、 \(a=-1\land b=\dfrac{\sqrt 2+1}2\) 提示：三角换元，\(x=\cos\theta\)，其中\(\theta\in\left[0,\dfrac{\pi}2\right]\)，则原式变形为\[\left|\sqrt{1+a^2}\sin\left(\theta+\varphi\right)-b\right|\leqslant \dfrac{\sqrt 2-1}2,\]注意到代数式\(\sqrt{1+a^2}\sin\left(\theta+\varphi\right)\)的值域区间长度不能超过\(\sqrt 2-1\)，于是\(a=-1\)，进而\(b=\dfrac{\sqrt 2+1}2\)．
8、\(\dfrac {8}{27}\) 提示：利用共轭复数，并令\(x=z+\bar z\)，则有原式等于\(2x^3-x^2-8x+8\)，其中\(x\in [-2,2]\)．
9、（1）\(\left[\sqrt{a^2-3b},2\sqrt{\dfrac{a^2}3-b}\right]\)；
（2）有理解为\((a,b,c)=(0,0,0),(1,-1,-1),(1,-2,0)\)，无理解为\(\left(-\dfrac 1b,b,\dfrac 2b-b\right)\)，其中\(b=t+\dfrac 2{3t}\)，而\(t=\sqrt [3]{-1+\sqrt{\dfrac {19}{27}}}\)． 
其中涉及三次方程的解法，可以参考 每日一题[29] 一般三次方程的解法． 提示：利用三次方程的韦达定理．