某校举行百年校庆的庆典活动，在某项仪式中，要求在操场事先画好的$2\times n$的带型网格中插上小红旗，并且每个$1\times 1$的方格最多插$1$面旗，任何$2\times 2$的“田”字格中不能插满旗．以$a_n$来表示满足条件的不同的插红旗的方法数，例如，$a_1$表示在$2\times 1$的网格中插红旗所有满足要求的方法数，易知$a_1=4$．
（1）求$a_2$，$a_3$；
（2）求证：$a_n$（$n \geqslant 2\land n\in \mathcal N$）是$3$的倍数；
（3）当$n=2015$时，若$a_{2015}=3^k\cdot m$（$k,m\in\mathcal N^*$），求$k$的最大值． 继续阅读
三次函数$f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$（$a \ne 0$）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆． 继续阅读
这是我在数海拾贝读者群里面看到的一道题：
设已知函数\(f(x)=\left|x-a\right|-\dfrac 4x+a,a\in\mathcal{R}\)．是否存在实数\(a\)，使得\(f(x)=3\)有且仅有\(3\)个不等实根，且它们成等差数列．若存在，求出所有\(a\)的值，若不存在，说明理由．
1、平面上的三角形$ABC$中，$AC=6$，$BC=7$，$\cos A=\dfrac 15$，$I$是三角形$ABC$的内心，若$\overrightarrow {IP}=x\overrightarrow {IA}+y\overrightarrow {IB}$，其中$x,y\in [0,1]$，则动点$P$的轨迹形成的面积是_______．
如图，\(E\)是正方形\(ABCD\)边\(CD\)上一动点，\(BE\)的垂直平分线交对角线\(AC\)于点\(G\)，垂足为\(H\)，连接\(BG\)，并延长交\(AD\)于\(F\)，连接\(EF\)，若\(AC=2\sqrt 2\)，则\(\triangle DEF\)的周长为 ．
这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的一个问题，由江苏无锡王举老师提供．
已知函数$f(x)=\left|x^2-a\right|$，其中$a>0$．若恰好有两组解$(m,n)$使得$f(x)$在定义域$[m,n]$上的值域也为$[m,n]$，求实数$a$的取值范围．
设函数$f(x)=1-{\rm e}^{-x}$．
（1）证明：当$x>-1$时，$f(x)\geqslant \dfrac{x}{x+1}$；
（2）设当$x \geqslant 0$时，$f(x)\leqslant \dfrac{x}{ax+1}$，求$a$的取值范围．
在角含半角模型之90°含45°（一）中我们知道当\(\angle EBF=45^\circ\)时，\(EB\)平分\(\angle AEF\)；反之，若$EB$平分$\angle AEF$，则$\angle EBF=45^\circ$．证明如下图．作\(BH\perp EF\)，则\(BH=BA=BC\)，从而得证．
接下来我们看看这一结论的应用．
例题 正方形\(ABCD\)中，\(M\)为边\(AD\)上一动点（不与\(A、D\)重合），作等腰梯形\(BMNC\)，其中\(BM\parallel CN\)，\(BC=MN\)，\(AB=1\)，\(AM=x\)，\(CP=y\)，求\(y\)关于\(x\)的函数关系式．
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2015年北京市海淀区高三期中理科数学第20题（压轴题）：
已知$x$为实数，用$[x]$表示不超过$x$的最大整数，例如$[1.2]=1$，$[-1.2]=-2$，$[1]=1$．
对于函数$f(x)$，若存在$m\in\mathcal R\land m\notin\mathcal Z$，使得$f(m)=f([m])$，则称函数$f(x)$是$\Omega$函数．
（1）判断函数$f(x)=x^2-\dfrac 13x$，$g(x)=\sin\pi x$是否是$\Omega$函数；（只需写出结论）
（2）设函数$f(x)$是定义在$\mathcal R$上的周期函数，其最小正周期是$T$，若$f(x)$不是$\Omega$函数，求$T$的最小值；
（3）若函数$f(x)=x+\dfrac ax$是$\Omega$函数，求$a$的取值范围．
