Math173

这是我在QQ群中国数学解题研究会里看到的问题：

如图，直角梯形$ABCD$中，$AB\parallel CD$，$\angle DAB=90^\circ$，$AD=AB=4$，$CD=1$，动点$P$在边$BC$上，且满足$\overrightarrow {AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}$($m,n$均为正实数)，则$\dfrac{1}{m}+\dfrac {1}{n}$的最小值为_______．

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已知$f(x)$是定义在$\mathcal{R}$上的偶函数，且当$x\geqslant 0$时，$f(x)=\dfrac {x-2}{x+1}$，若对任意实数$t\in\left[\dfrac 12,2\right ]$，都有$f(t+a)-f(t-1)>0$恒成立，则实数$a$的取值范围是____．

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这是我在QQ群高中数学试题研究中看到的题目：

已知$A(0,1)$，$B(1,0)$，$C(t,0)$，点$D$是直线$AC$上的动点，若$AD\leqslant 2 BD$恒成立，则最小正整数$t$的值为_______．

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无穷等差数列\(\{a_n\}\)的各项均为整数，首项为\(a_1\)，公差为\(d\)，\(S_n\)是其前\(n\)项和，\(3\)，\(21\)，\(15\)是其中的三项，给出下列命题中，真命题有\((\qquad)\)

①对任意满足条件的\(d\)，存在\(a_1\)，使得\(99\)一定是数列\(\{a_n\}\)中的一项；

②对任意满足条件的\(d\)，存在\(a_1\)，使得\(30\)一定是数列\(\{a_n\}\)中的一项；

③存在满足条件的数列\(\{a_n\}\)，使得对任意的\(n\in\mathcal N^*\)，\(S_{2n}=4S_n\)成立．

A．①③

B．①②

C．②③

D．①②③

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这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}2a_n\right)$($n\in\mathcal N^*$)，$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和，求证：$S_n>n-\dfrac 52$．

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已知抛物线 \(y^2=4x\) 的焦点为 \(F\)，点\(M(m,0)\)在\(x\)轴的正半轴上，且不与点\(F\)重合，动点\(A\)在抛物线上，且不过点\(O\)．若\(\angle FAM\)恒为锐角，则$m$的取值范围为_____．

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这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的题目：

对于函数$f(x)$，若存在$x_0\in\mathcal Z$，满足$\left|f(x_0)\right|\leqslant \dfrac 14$，则称$x_0$为函数$f(x)$的一个“近零点”．已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a>0$)有四个不同的“近零点”，则$a$的最大值为_______．

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设偶函数$f(x)$满足$f(x)=x^3-8,x\geqslant 0$，则$f(x-2)>0$的解集为_____．

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这是我在QQ群中国数学解题研究会看到的问题：

已知数列$\{a_n\}$的各项均为正数，其前$n$项和为$S_n$，且对任意的$m,n\in\mathcal N^*$，都有$(S_{m+n}+S_1)^2=4a_{2m}a_{2n}$．

（1）求$\dfrac{a_2}{a_1}$的值；

（2）求证：$\{a_n\}$为等比数列；

（3）已知数列$\{c_n\},\{d_n\}$满足$|c_n|=|d_n|=a_n$，$p$($p\geqslant 3)$是给定的正整数，数列$\{c_n\},\{d_n\}$的前$p$项的和分别为$T_p,R_p$，如果有$T_{p}=R_{p}$，求证：对任意正整数$k$($1\leqslant k\leqslant p$)，$c_k=d_k$．

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