角含半角模型之90°含45°（一）

角含半角模型是旋转变换的一种基本模型，其中$90^\circ$含$45^\circ$是常见的一类．

模型一    如图，正方形\(ABCD\)中，\(AD\)边上一点\(E\)，\(DC\)边上一点\(F\)，若\(\angle EBF=45^\circ\)，则\(AE+FC=EF\)，\(S_{\triangle EBF}=S_{\triangle ABE}+S_{\triangle CBF}=S_{\triangle EBF'}\)．

模型二    如图，等腰直角三角形\(ABC\)中，\(\angle BAC=90^\circ\)，\(BC\)边上两点\(E、D\)，若\(\angle EAD=45^\circ\)，则\(BD^2+EC^2=DE^2\)，\(S_{\triangle AFD}=S_{\triangle ADE}\)．

接下来，我们通过一个具体问题的解决过程介绍这一模型的应用．

例题    在正方形\(ABCD\)内部有两点\(E、F\)，\(\angle EAF=\angle ECF=45^\circ\)，\(AB=1\)，求\(S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ADF}+S_{\triangle EFC}\)的值． 解    可以先用找特殊位置得到答案，如下图，答案为\(\dfrac 12\)． 那么在一般位置时答案是不是不变呢？

已知条件中\(\angle EAF=\angle ECF=45^\circ\)，这是角含半角的模型，我们可以试着分别旋转．\[GB=DF=BH,\\\angle GBA+\angle ABE+\angle CBE+\angle CBH=180^\circ,\\S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ADF}+S_{\triangle EFC}=S_{四边形AGBE}+S_{\triangle EFC}.\]\[S_{四边形AGBE}+S_{\triangle EFC}=S_{\triangle AGE}+S_{\triangle EBH}+S_{\triangle EFC}.\] \[S_{\triangle AGE}+S_{\triangle EBH}+S_{\triangle EFC}=S_{\triangle AEF}+S_{\triangle EBH}+S_{\triangle EFC}.\]\[S_{\triangle AEF}+S_{\triangle EBH}+S_{\triangle EFC}=S_{四边形BECH}+S_{\triangle AEF}.\] \[S_{四边形BECH}+S_{\triangle AEF}=S_{\triangle AEF}+S_{\triangle DFC}+S_{\triangle BEC}=\dfrac 12.\]