角含半角模型之90°含45°（三）

如图，\(E\)是正方形\(ABCD\)边\(CD\)上一动点，\(BE\)的垂直平分线交对角线\(AC\)于点\(G\)，垂足为\(H\)，连接\(BG\)，并延长交\(AD\)于\(F\)，连接\(EF\)，若\(AC=2\sqrt 2\)，则\(\triangle DEF\)的周长为                ．

答案为 \(4\)．

法一

连接\(DG\)，作\(GM\perp CD\)，因为\[BG=GE=GD，\]所以\[\angle EGM=\angle DGM，\]从而\[\angle HGM=\dfrac 12\angle BGD=\angle BGC，\]所以\[\angle 1=\angle 2=\angle GBE=45^\circ．\]故\[EF=AF+CE．\]

法二

连接\(BD\)与\(AC\)交点为\(O\)，连接\(OH\)．则\[OH\parallel DC．\]得\[\angle 3=\angle 4=45^\circ．\]又\[\angle BHG=\angle BOA=90^\circ，\]所以，\(B、G、O、H\)四点共圆，
从而\[\angle 1=\angle 3=45^\circ．\]所以\[\angle EBF=45^\circ．\]所以\(\triangle DEF\)的周长为\(4\)．

很多题目方法不唯一，我们要抓住图形的性质，本题中正方形的对称性就是解决这道题的关键．