已知抛物线$y^2=4x$的内接三角形$ABC$的重心恰好是抛物线的焦点，求$\triangle ABC$面积的最大值．
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每日一题[462]迭代函数与数列单调性
设数列$\{a_n\}$满足：$a_1=2$，$a_{n+1}=ca_n+\dfrac 1{a_n}$，其中$c$为正实数，$n\in\mathcal N^*$．记数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$．
（1）证明：当$c=2$时，$2^{n+1}-2\leqslant S_n\leqslant 3^n-1$($n\in\mathcal N^*$)；
（2）求实数$c$的取值范围，使得数列$\{a_n\}$是单调递减数列．
练习题集[44]基础练习
1、已知双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右焦点为$F_2$，$M,N$是双曲线$C$上关于坐标原点对称的两点，且$M$在$y$轴右侧．连接$MF_2$并延长交双曲线$C$于点$P$，连接$NF_2,PN$，若$\triangle NF_2P$是以$\angle NF_2P$为顶角的等腰直角三角形，则双曲线$C$的离心率为_______．
每日一题[461]差分复差分
已知$\sqrt{S_n}=\lambda a_n+c$，$a_n>0$，$a_1+a_3=2a_2$，求证：$\{a_n\}$是等差数列．
每日一题[460]离心率的三角表示
此题为2016年帷幕第二次群测试题：
设非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2$．设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a -\overrightarrow b$的夹角为$\alpha$，$\overrightarrow b$与$\overrightarrow b- \overrightarrow a$的夹角为$\beta$，有$$4\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha -\beta )+3=0.$$记$\overrightarrow c= 2\overrightarrow b-\overrightarrow a$，则$\dfrac{\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c}{\left|\overrightarrow c\right|}$的最小值为_______．
每日一题[459]圆中的解三角形
已知圆$E:(x-2)^2+y^2=3$，设直线$l_1:x-my-1=0$交圆$E$于$A,C$两点，直线$l_2:mx+y-m=0$交圆$E$于$B,D$两点．线段$AB,CD$分别位于$x$轴的上方和下方．当$CD$的斜率为$-1$时，求线段$AB$的长．
练习题集[43]基础练习
1、以$F_1(-3,0)$，$F_2(3,0)$为焦点的双曲线与直线$y=x-1$有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为_______．
每日一题[458]运动中的不变量
设$P-ABCD$是一个高为$3$，底面边长为$2$的正四棱锥，$M$是棱$PC$的中点，过$AM$作平面与线段$PB,PD$分别交于$E,F$（可以是线段的端点）．试求四棱锥$P-AEMF$的体积的最大值与最小值．
每日一题[457]三角恒等式
已知$x,y\geqslant 0$，且$(1+x)(1+y)=2$，求证：$\sqrt{1+x^2}\cdot \sqrt{1+y^2}\geqslant 4-2\sqrt 2$．
[易错题汇编]（十）直线与圆篇
一、直线的基本量与位置关系
（1）直线$x\cos\theta +\sqrt 3 y-2=0(\theta\in\mathcal{R})$的倾斜角的范围是_____；
（2）已知两点$A(-1,4),B(3,2)$，过点$P(2,1)$的直线$l$与线段$AB$有公共点，则$l$的倾斜角的取值范围是_____，斜率的取值范围是_____；
（3）若直线$x+2ay-1=0$与直线$(3a-1)x-ay-1=0$平行，则$a=$_____；
（4）若直线$ax+(1-a)y=3$与直线$(a-1)x+(2a+3)y=2$垂直，则$a=$_____；
（5）已知直线$l$与$A(3,3)$和$B(5,2)$的距离都相等，且过直线$l_1:3x-y-1=0$与$l_2:x+y-3=0$的交点，则直线$l$的方程为_____．