已知函数$f(x)=\dfrac {\mathrm{e}^x+m}{\mathrm{e}^x+1}$，若对于任意$a,b,c\in\mathcal{R}$都有$f(a)+f(b)>f(c)$成立，则实数$m$的取值范围是_______．
正确答案是$\left[\dfrac 12,2\right ]$．
解 关键是如何理解$$\forall a,b,c\in \mathcal{R},f(a)+f(b)>f(c).$$假如你可以控制$a,b,c$，去想象不等式可能会面临的最严峻的形势是什么？
当然是$f(a),f(b)$尽可能地小，而$f(c)$尽可能地大时，才能置题中的条件于死地，即$f(a),f(b)$均为$f(x)$的最小值（下确界），而$f(c)$恰为$f(x)$的最大值（上确界）【注】．
所以题目条件即$$2\min{f(x)}\geqslant \max{f(x)}.$$显然$m=1$时满足； 当$m<1$时，有$$f(x)=1-\dfrac{1-m}{\mathrm{e}^x+1}\in(m,1),$$于是$2m\geqslant 1$，解得$$m\in\left[\dfrac 12,1\right ).$$当$m>1$时，有$$f(x)=1+\dfrac{m-1}{\mathrm{e}^x+1}\in(1,m),$$于是$2\cdot 1\geqslant m$，解得$$m\in(1,2].$$综上知，$m$的取值范围为$$\left[\dfrac 12,2\right ].$$
注 一个函数很可能没有最大值或最小值，但会无限接近某个值，比如函数$f(x)=2^x$没有最小值，但函数值往下可以无限接近$0$，这样的值$0$称为$f(x)$的下确界，最小值也为下确界；同样的也有上确界的概念．本题中用最大、最小值是不严格的，严格来说应该用上确界与下确界，准确的确界的概念需要用到极限的知识．
今天也做到一道这样的题，小补充一下，他的题设条件可以说：对于任意属于某区间的函数值，fa fb fc，总能构成以fa fb fc大小为三边长度的三角形。
但是，老师，这一题的左右开闭的判断是怎么来的，有点不明白
边界单独考虑，思考$m=\dfrac 12$与$m=2$时，不等式能不能满足去决定边界是否包含。