设函数$f(x)$在$\mathcal{R}$上存在导数$f'(x)$,对任意$x\in\mathcal{R}$,有$f(-x)+f(x)=x^2$,且在$(0,+\infty)$上$f'(x)>x$.若$f(2-a)-f(a)\geqslant 2-2a$,则实数$a$的取值范围为_____.
正确答案是$(-\infty,1]$.
解 由题意知$$\forall x>0,f'(x)-x>0,$$于是构造函数$$g(x)=f(x)-\dfrac 12x^2,$$由$g'(x)>0$知$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增.
又由条件$f(-x)+f(x)=x^2$知$$g(-x)+g(x)=0,$$即$g(x)$为奇函数.
因为$f(x)$在$\mathcal{R}$上存在导函数,所以$g(x)$也在$\mathcal{R}$上存在导函数,所以$g(x)$在$\mathcal{R}$上单调递增.(注:定义在$\mathcal{R}$上的奇函数在$(0,+\infty)$上单调递增,得不到它在$\mathcal{R}$上单调递增.你能举出反例吗?)
由$f(2-a)-f(a)\geqslant 2-2a$知$$g(2-a)\geqslant g(a),$$从而有$$2-a\geqslant a,$$解得$a\leqslant 1$.
导函数的正负可以得到原函数的单调性,遇到与导数相关的不等式,首先去看它在提示哪个函数的单调性(这就是题目给的线索),再去构造相应的函数,一切便迎刃而解.
下面给出一道练习:
2015高考数学福建理科第10题(选择压轴题):若定义在$\mathcal R$上的函数$f\left(x\right)$满足$f\left(0\right)=-1$,其导函数$f'\left(x\right)$满足$f'\left(x\right)>k>1$,则下列结论中一定错误的是( )
A.$f\left(\dfrac 1k\right)<\dfrac 1k$
B.$f\left(\dfrac 1k\right)>\dfrac 1{k-1}$
C.$f\left(\dfrac 1{k-1}\right)<\dfrac 1{k-1}$
D .$f\left(\dfrac 1{k-1}\right)>\dfrac k{k-1}$
答案 C.
提示 导函数$f'(x)$满足$f'(x)>k$,这提示我们构造函数$$g(x)=f(x)-kx,$$于是$g(0)=-1$,且$g(x)$单调递增.
由于$\dfrac{1}{k-1}>\dfrac{1}{k}>0$,于是有$$g\left(\dfrac{1}{k-1}\right)>g\left(\dfrac 1k\right)>g(0),$$整理知选项 C 的结论一定错误.
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貌似对函数积分就可以了
老师,这道题好像贴吧来的吧,我记得他给了一个典型的错解,但找不到了,老师如果您能找到的话,能麻烦分析一下吗
这是2013年卓越联盟的一道选择题