已知$a,b\in [0,1]$，求$S(a,b)=\dfrac a{1+b}+\dfrac b{1+a}+(1-a)(1-b)$的最小值． 继续阅读
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问题征解[23]数列
若$[x]$表示不超过$x$的最大整数，数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=\left[\sum\limits_{i=n}^{9n-1}\sqrt{i^2+1}\right]$，问$\{a_n\}$中有多少个完全平方数？证明你的结论．
问题征解[22]三角不等式（已解决）
在锐角$\triangle ABC$中，求证：$\dfrac{\cos^2A}{1+\cos A}+\dfrac{\cos^2B}{1+\cos B}+\dfrac{\cos^2C}{1+\cos C}\geqslant \dfrac 12$．
问题征解[21]代数式最值（已解决）
已知$x_1+x_2+\cdots +x_n=\pi$，$x_i\geqslant 0$($i=1,2,\cdots ,n$)，求$\sin^2x_1+\sin^2x_2+\cdots +\sin^2x_n$的最大值．
问题征解[20]不等式
已知$x,y>0$，求证：$\left|\dfrac{\sin x}x-\dfrac{\sin y}y\right|\leqslant \sqrt{2\left|\dfrac 1x-\dfrac 1y\right|}$．
每日一题[466]梅花三弄
已知$O$为锐角三角形$ABC$的外心，$A=\dfrac{\pi}3$，且$\overrightarrow{OA}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$，求$2x-y$的取值范围．
任意四面体的外接球半径公式
若四面体$ABCD$中，$\angle CAD=\alpha$，$\angle CBD=\beta$，二面角$A-CD-B$的大小为$\theta$，$CD=2m$，则其外接球半径$$R=\dfrac{m}{\sin\alpha\sin\beta\sin\theta}\cdot\sqrt{1-(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cos\theta)^2}.$$
练习题集[45]基础练习
1、如下图的矩阵，按斜线分组，第一组为$(1)$，第二组为$(2,3)$，第三组为$(4,6,5)$，$\cdots $，那么第$n$组中的$n$个数的和为_______．$$\begin{matrix}1&3&5&7&9&\cdots \\ 2&6&10&14&18&\cdots \\ 4&12&20&28&36&\cdots \\ 8&24&40&56&72&\cdots \\ 16&48&80&112&144&\cdots \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{matrix}$$
每日一题[464]斗转星移
已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$O,A$两点处取得极值，其中$O$是坐标原点，$A$在曲线$y=x^2\sin x+x\cos x$($x\in\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{2{\pi}}3\right]$)上，则曲线$y=f(x)$的切线的斜率的最大值是_______．