如图,\(\angle B=\angle CDE=90^\circ\),\(BC=6\),\(AB=8\),求\(BD\)为何值时\(CE\)最短,并求出\(CE\)的最小值.方法一: 注意到动点\(D\)在运动时,\(\angle CDE=90^\circ\)是不变量,那么点\(D\)在以\(CE\)为直径的圆上. 比较上面两图可知,当且仅当\(\odot O\)与\(AB\)相切时,半径\(OD\)最小. 连接\(OD\), 易证\[ \triangle AOD \backsim {\triangle ACB},\]所以\[\dfrac {AO}{AC}=\dfrac {DO}{BC}.\]解得\[r=\dfrac {15}4.\]即\(CE\)的最小值为\(7.5\).
方法二: 当看到图中两个直角的顶点都在线段\(AB\)上时,易想到如图构造“一线三等角”相似模型.故作\(EH\perp AB\),垂足为\(H\),易得\[ \triangle DEH \backsim {\triangle CDB},\\ \triangle AEH \backsim {\triangle ACB},\]设\({EH}=3x\),\({AH}=4x\),\({AE}=5x\),\({BD}=y\),\({DH}=8-4x-y\),\({CE}=10-5x\), 即有\[\dfrac {3x}{y}=\dfrac {8-4x-y}{6},\]整理,得\[y^2-(8-4x)y+18x=0,\]关于\(y\)的一元二次方程有根,得\[\Delta \geqslant 0,\]解得\[0<x \leqslant \dfrac 12 \ \ 或\ x\geqslant 8(舍).\]所以\[CE\geqslant \dfrac {15}2.\]即\(CE\)的最小值为\(7.5\).
在遇到动点问题时我们要多注意这些不变量,此题两种方法中利用辅助圆就比代数方法简便很多,所以值得大家推广学习.