巧用辅助圆，做题更简单！

如图，\(\angle B=\angle CDE=90^\circ\)，\(BC=6\)，\(AB=8\)，求\(BD\)为何值时\(CE\)最短，并求出\(CE\)的最小值．方法一：　注意到动点\(D\)在运动时，\(\angle CDE=90^\circ\)是不变量，那么点\(D\)在以\(CE\)为直径的圆上． 比较上面两图可知，当且仅当\(\odot O\)与\(AB\)相切时，半径\(OD\)最小． 连接\(OD\)， 易证\[ \triangle AOD \backsim {\triangle ACB}，\]所以\[\dfrac {AO}{AC}=\dfrac {DO}{BC}.\]解得\[r=\dfrac {15}4．\]即\(CE\)的最小值为\(7.5\)．
方法二：　当看到图中两个直角的顶点都在线段\(AB\)上时，易想到如图构造“一线三等角”相似模型．故作\(EH\perp AB\)，垂足为\(H\)，易得\[ \triangle DEH \backsim {\triangle CDB}，\\ \triangle AEH \backsim {\triangle ACB}，\]设\({EH}=3x\)，\({AH}=4x\)，\({AE}=5x\),\({BD}=y\),\({DH}=8-4x-y\),\({CE}=10-5x\), 即有\[\dfrac {3x}{y}=\dfrac {8-4x-y}{6}，\]整理，得\[y^2-(8-4x)y+18x=0,\]关于\(y\)的一元二次方程有根，得\[\Delta \geqslant 0,\]解得\[0<x \leqslant \dfrac 12 \ \ 或\ x\geqslant 8（舍）.\]所以\[CE\geqslant \dfrac {15}2.\]即\(CE\)的最小值为\(7.5\)．
在遇到动点问题时我们要多注意这些不变量，此题两种方法中利用辅助圆就比代数方法简便很多，所以值得大家推广学习．