2014年全国高中数学联赛吉林省预赛第5题：
若五项的数列\(\{a_n\}:a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\)满足\(0\leqslant a_1<a_2<a_3<a_4<a_5\)且对任意的\(i,j\)（\(1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5\)，均有\(a_j-a_i\)在该数列中．以下四个命题正确的有_______．
① \(a_1=0\)；
② \(a_5=4a_2\)；
③ \(\{a_n\}\)为等差数列；
④ 集合\(A=\left\{a_i+a_j\left|1\leqslant i\leqslant j\leqslant 5\right.\right\}\)含\(9\)个元素．
在《2015年高中数学联赛备考手册》的封底发现的：
假设有一个定圆，另有一个半径是定圆半径\(\dfrac{1}{n-1}\)倍的圆在定圆上滚动，则滚动的圆上某定点在滚动时划出的轨迹就是一条外摆线，其方程为\[\begin{cases}x=\cos\theta+\dfrac 1n\cos n\theta,\\y=\sin \theta+\dfrac 1n\sin n\theta.\end{cases}\] 继续阅读
2014年全国高中数学联赛山东省预赛第12题：
已知函数\(f_1(x)=f(x)=x(x-1)\)，\(f_n(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right)\)，其中\(n\geqslant 2\)．求证：
（1）当\(x>2\)时，\(f_n(x)\)没有零点；
（2）当\(1\leqslant x\leqslant 2\)时，\(f_n(x)\)至少有\(n\)个零点． 继续阅读
2014年全国高中数学联赛辽宁省预赛第1题：
已知\(A\cup B\cup C=\{a,b,c,d,e,f\}\)，\(A\cap B=\{a,b,c,d\}\)，\(c\in A\cap B\cap C\)，则符合上述条件的\(\{A,B,C\}\)共有_______组．
2014年全国高中数学联赛湖北省预赛第4题：
在直角坐标平面内，曲线\(\left|x-1\right|+\left|x+1\right|+\left|y\right|=3\)围成的图形的面积是_______．
2014年全国高中数学联赛河北省预赛第14题：
已知数列\(\left\{a_n\right\}\)满足：\(a_1=1\)，\(a_n=\dfrac{1}{a_{n+1}}-\dfrac 12\)．
（1）求证：\(a_n\geqslant \dfrac 23\)；
（2）求证：\(\left|a_{2n}-a_n\right|<\dfrac{10}{27}\)．
2014年全国高中数学联赛河北省预赛第7题：
已知圆\(O:x^2+y^2=1\)为三角形\(ABC\)的外接圆，且\(\tan A=2\)，若\(\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\)，则\(x+y\)的最大值为_______．
2014年全国高中数学联赛河北省预赛第5题：
在四面体\(ABCD\)中，\(AB=CD=5\)，\(AC=BD=\sqrt{34}\)，\(AD=BC=\sqrt{41}\)，则\(ABCD\)外接球的表面积是_______．
2014年全国高中数学联赛天津市预赛第12题：
函数\(f(x)\)满足\(f(x)=\begin{cases}x-3,&x\geqslant 1000,\\f\left(f(x+5)\right),&x<1000,\end{cases}\)，则\(f(84)\)的值是_______．
