条条大路通罗马

如图,在\(\triangle ABC\)中,\(\angle BAC=\angle BCA=44^\circ\),\(M\)为\(\triangle ABC\)形内一点,使得\(\angle MCA=30^\circ\),\(\angle MAC=16^\circ\).求\(\angle BMC\)的度数.
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答案    \(\angle BMC=150^\circ\).

方法一:轴对称图形添加对称轴
作\(BD\perp AC\)于点\(D\),延长\(CM\)交\(BD\)于点\(E\),连接\(AE\),则\[\angle EAM=14^\circ=\angle BAE,\angle AME=46^\circ=\angle ABE.\]所以\[\triangle ABE\cong \triangle AME,\]则\[EB=EM.\]易得\(\angle BEM=120^\circ\),故\[\angle BMC=180^\circ-\angle BME=150^\circ.\]
方法二:构造等边三角形0以\(AC\)为边在\(\triangle ABC\)同侧作等边\(\triangle ADC\),连接\(BD\),则\[\angle ADB=30^\circ=\angle ACM,\angle DAB=16^\circ=\angle MAC.\]所以\[\triangle DAB\cong \triangle CAM.\]则\[AB=AM.\]从而求得\[\angle BMC=150^\circ.\]
方法三:构造等边三角形0以\(AB\)为边在\(\triangle ABC\)同侧作等边\(\triangle ABD\),则\(A,D,C\)在以\(B\)为圆心、\(BA\)为半径的圆上.连接\(DC,DM\),则\[\angle ACD=\dfrac 12 \angle ABD=30^\circ.\]可证\[\triangle AMC \cong \triangle ADC.\]则\[AM=AD=AB,\]从而求得\[\angle BMC=\angle BMD=150^\circ.\]


练习    在\(\triangle ABC\)中,\(\angle ABC=\angle ACB=40^\circ\),\(P\)为形内一点,\(\angle PAC=20^\circ\),\(\angle PCB=30^\circ\).求\(\angle PBC\)的度数.
0答案    \(\angle PBC=20^\circ\).

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