小小的点儿,大大的能量

如图,已知\(AD\)为\(\triangle ABC\)的角平分线,\(AB<AC\),在\(AC\)上截取\(CE=AB\),\(M,N\)分别为\(BC,AE\)的中点.求证:\(MN\parallel AD\).0


方法一    利用中点构造中位线
连接\(BE\),取\(BE\)中点\(F\),连接\(NF,MF\).1易证\[FM\parallel AC,FN\parallel AB,FM=FN,\]所以\[\angle FNM=\angle FMN=\angle MNC.\]而\(AD\)为\(\triangle ABC\)的角平分线,则\[\angle BAD=\angle DAC=\angle FNM=\angle MNC,\]所以\[MN\parallel AD.\]
方法二    利用中点中线倍长
连接\(BN\)并延长至\(F\),使得\(NF=BN\),连接\(CF,EF\).3易证\[AB\parallel EF, EF=AB=EC.\]所以\[\angle DAC=\dfrac 12 \angle BAN=\dfrac 12 \angle FEN=\angle ACF.\]则\[AD\parallel CF\parallel MN.\]
方法三    利用角平分线将图形翻折
在\(AC\)上截取\(AF=AB\),连接\(BF\)交\(AD\)于点\(G\),则\(BG=FG\).2
连接\(MG\),易证\[GM\parallel AN,GM=\dfrac 12 FC=AN.\]则四边形\(AGMN\)为平行四边形,所以\[MN\parallel AD.\]


练习    如图,在四边形\(ABCD\)中,\(AB=CD\),\(M,N\)分别为\(AD,BC\)的中点,延长\(BA,CD\),交\(NM\)的延长线分别于点\(E,F\),求证\(\angle BEN=\angle CFN\).提示
方法一:
方法二:
方法三:3

此条目发表在平面几何分类目录。将固定链接加入收藏夹。

小小的点儿,大大的能量》有2条回应

  1. Pingback引用通告: [平面几何]2015年安徽省中考数学压轴题 | 数海拾贝内容系统

  2. Pingback引用通告: 2015年安徽省中考数学压轴题 | Math173

发表回复