2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #11
如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中，$M,N,P$ 分别是 $AA_1,CC_1,C_1 D_1$ 的中点，$Q$ 是线段 $D_1 A_1$ 上的动点，则（ ）
A．存在点 $Q$，使 $B,N,P,Q$ 四点共面
B．存在点 $Q$，使 $PQ\parallel ~\text{平面}~MBN$
C．过 $Q,M,N$ 三点的平面截正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 所得截面面积的取值范围为 $[2\sqrt 6,3\sqrt 3]$
D．经过 $C,M,B,N$ 四点的球的表面积为 $\dfrac{9\pi}2$
答案 AB．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，取 $Q$ 为 $A_1$，则 $QB\parallel PN$，因此 $B,N,P,Q$ 共面，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，取 $Q$ 为 $A_1D_1$ 的中点，则 $PQ\parallel MN$，因此 $PQ\parallel MBN$，选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，当 $Q$ 取 $A_1$ 时，截面 $QMN$ 为 $A_1ACC_1$，面积为 $4\sqrt 2$；当 $Q$ 取 $D_1$ 时，截面 $QMN$ 为 $D_1MBND_1$，面积为 $\frac 12\cdot 2\sqrt 3\cdot 2\sqrt 2=2\sqrt 6$；而 $4\sqrt 2>3\sqrt 3$，选项错误；
对于选项 $\boxed{D}$，设 $BB_1,DD_1$ 的中点分别为 $S,T$，则经过 $C,M,B,N$ 四点的球即长方体 $ABCD-MSNT$ 的外接球，其直径为 $3$，因此所求表面积为 $4\pi\cdot \left(\frac 32\right)^2=9\pi$，选项错误；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$．