每日一题[320]顺藤摸瓜

已知函数\(f(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x(1+\lambda x)}{1+x}\).

(1)若\(x\geqslant 0\)时,\(f(x)\leqslant 0\),求\(\lambda\)的最小值;

(2)设数列\(\{a_n\}\)的通项是\(a_n=1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\),证明:\(a_{2n}-a_n+\dfrac 1{4n}>\ln2\).


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正确答案是(1)$\dfrac 12$;(2)略.

 (1)对$f(x)$求导得\[f'(x)=\dfrac x{(1+x)^2}[-\lambda x+(1-2\lambda)],\]又\(f(0)=0\),所以\(\lambda\)的最小值为\(\dfrac 12\).

简要证明如下:

当$\lambda =0$时,显然不满意题意;

当$\lambda \ne 0$时,有$$f'(x)=\dfrac {-\lambda x}{(1+x)^2}\left(x-\dfrac {1-2\lambda}{\lambda } \right).$$ 得到$\lambda $的讨论分界点为$0,\dfrac 12$,对$\lambda $分段讨论知$\lambda <0$、$0<\lambda<\dfrac 12$时都不满足题意;$\lambda \geqslant \dfrac 12$时,满足题意,故$\lambda $的最小值为$\dfrac 12$.

(2)只需要证明 \[\dfrac 1{n+1}+\dfrac 1{n+2}+\cdots +\dfrac 1{2n}+\dfrac 1{4n}>\ln2.\]由(1),当\(x\geqslant 0\)时,有\[\ln(1+x)\leqslant \dfrac{x\left(1+\frac 12x\right)}{1+x},\]令\(x=\dfrac 1k\),则有\[\begin{split}\ln\dfrac{k+1}k&\leqslant \dfrac{\frac 1k\left(1+\frac 1{2k}\right)}{1+\frac 1k}\\&=\dfrac{2k+1}{2k(k+1)}\\&=\dfrac 1{k+1}+\dfrac 1{2k(k+1)}\\&=\dfrac 1{k+1}+\dfrac 12\left(\dfrac 1k-\dfrac 1{k+1}\right).\end{split}\] 分别取\(k=n,n+1,n+2,\cdots,2n-1\)累加得\[\begin{split} &\ln \dfrac{n+1}n+\ln \dfrac{n+2}{n+1}+\cdots+\ln \dfrac{2n}{2n-1}\\&\leqslant \dfrac 1{n+1}+\dfrac 1{n+2}+\cdots+\dfrac 1{2n}+\dfrac 12\left(\dfrac 1n-\dfrac 1{2n}\right).\end{split} \]即\[\ln2\leqslant \dfrac 1{n+1}+\dfrac 1{n+2}+\cdots +\dfrac 1{2n}+\dfrac 1{4n}.\]

显然“$=$”无法取得,所以原不等式得证.

本题的第二问通过分析通项很难得到需要证明的式子,需要借助第一问的结果为通项的形式提供思考方向,顺藤摸瓜,得到所要证明的通项.

 常规的级数不等式的证明方法是积分放缩法,本题第二问也可以利用积分放缩法,但需要用到反比例函数的凹凸性增加放缩的精度,有兴趣的可以尝试一下.


下面给出一道练习:

已知函数$f(x)=ax+\dfrac {a-1}{x}+1-2a$.

(1)若$f(x)\geqslant \ln x$在$[1,+\infty)$上恒成立,求$a$的取值范围.

(2)证明:$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n>\ln(n+1)+\dfrac {n}{2(n+1)}(n\geqslant 1)$.

答案 (1)$\left[\dfrac 12,+\infty\right )$;(2)略;

提示 (2)取$a=\dfrac 12$,再依次取$x=\dfrac {k+1}{k}$.

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