Math173

2016年1月份浙江高中学业水平考试压轴题：

已知函数$f(x)=x|x+a|+m|x-1|$．

(1)$a=0$，$m=1$时，求函数$f(x)$的单调性；

(2)若函数$f(x)$在$[0,2]$上取得最大值$a+1$，求$m$的取值范围（用$a$表示）．

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本题改编自2013年北京高考理科数学第19题：

设$A,B,C$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$上的三个点，判断四边形$OABC$能否为矩形．

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已知函数$f(x)=\begin{cases} -x^2+ax,x\leqslant 1,\\ax-1,x>1,\end{cases} $，若$\exists x_1,x_2\in\mathcal{R},x_1\ne x_2$，使$f(x_1)=f(x_2)$成立，则实数$a$的取值范围是_____．

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这是2012年北京市西城区的一道高考模拟题：

已知抛物线$y^2=2px$($p>0$)的焦点为$F$，过点$F$的直线交$y$轴正半轴于点$P$，交抛物线于$A,B$两点，其中点$A$在第一象限．

(I)求证：以线段$FA$为直径的圆与$y$轴相切；

(II)若$\overrightarrow{FA}=\lambda_1\overrightarrow{AP}$，$\overrightarrow{BF}=\lambda_2\overrightarrow{FA}$，$\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\in\left[\dfrac 14,\dfrac 12\right]$，求$\lambda_2$的取值范围．

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已知函数$f(x)=\begin{cases} 1,x\in\mathcal{Q},\\0,x\in\complement_{\mathcal {R}}{\mathcal {Q}}.\end{cases} $，给出下列三个命题：

①函数$f(x)$为偶函数；

②存在$x_i\in\mathcal{R}(i=1,2,3)$，使得以点$(x_i,f(x_i))(i=1,2,3)$为顶点的三角形是等腰直角三角形；

③存在$x_i\in\mathcal{R}(i=1,2,3,4)$，使得以点$(x_i,f(x_i))(i=1,2,3,4)$为顶点的四边形是菱形．

其中，所有真命题的序号是____．

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已知 \(F_1\) ,\(F_2\)是椭圆和双曲线的公共焦点，\(P\)是它们的一个公共点，且\(\angle{F_1PF_2}=\dfrac{\pi}{3}\)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为____．

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设\(a_1\)，\(a_2\)，\(\cdots\)，\(a_n\)是一组不为零的实数．证明：关于\(x\)的方程\(\sqrt{1+a_1 x}+\sqrt {1+a_2x}+\cdots +\sqrt{1+a_nx}=n\)至多有两个实根．

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已知函数$f(x)=\left \lvert x^2-ax \right \rvert -2$，且函数$f(x+2)$是偶函数．

（1）求实数$a$的值；

（2）设函数$y=g(x)$，集合$M=\{x|g(x)-x=0\},N=\{x|g(g(x))-x=0\}$．

① 证明$M\subseteq N$；

② 如果$g(x)=f(\lvert x \rvert )$，集合$P=\{x|g(g(x))-x=0\land \lvert x \rvert \leqslant 2 \}$，那么集合$P$中的元素个数为_______．

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