设函数$f(x)=\begin{cases}x^3-3x,&x\leqslant a,\\-2x,&x>a.\end{cases}$
(1)若$a=0$，则$f(x)$的最大值为_______；
(2)若$f(x)$无最大值，则实数$a$的取值范围是_______．
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2016年全国2卷理科数学压轴题（导数大题）
(1) 讨论函数$f(x)=\dfrac{x-2}{x+2}{\rm e}^x$的单调性，并证明当$x>0$时，$(x-2){\rm e}^x+x+2>0$；
(2) 证明：当$a\in [0,1)$时，函数$g(x)=\dfrac{{\rm e}^x-ax-a}{x^2}$($x>0$)有最小值．设$g(x)$的最小值为$h(a)$，求函数$h(a)$的值域．
2016年全国1卷理科数学解析几何大题
设圆$x^2+y^2+2x-15=0$的圆心为$A$，直线$l$过点$B(1,0)$且与$x$轴不重合，$l$交圆$A$于$C,D$两点，过$B$作$AC$的平行线交$AD$于点$E$．
(1) 证明：$|EA|+|EB|$为定值，并写出点$E$的轨迹方程；
(2) 设点$E$的轨迹为曲线$C_1$，直线$l$交$C_1$于$M,N$两点，过$B$且与$l$垂直的直线与圆$A$交于$P,Q$两点，求四边形$MPNQ$面积的取值范围．
2016年全国1卷理科数学压轴题（导数大题）
已知函数$f(x)=(x-2){\rm e}^x+a(x-1)^2$有两个零点．
(1) 求$a$的取值范围；
(2) 设$x_1,x_2$是$f(x)$的两个零点，证明：$x_1+x_2<2$．
练习题集[52]基础练习
1、已知$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，且$f(1)=f(2)=1$，$f(3)=f(4)=2$，则$f(5)=$_______．
朗博函数简介
朗博W函数(Lambert W Function)，又称欧米伽函数或乘积对数函数，是复变函数$f(x)=x\cdot \exp (x)$的反函数．如果我们把朗博函数的定义域限制在$\left[-\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$上，取其在$[-1,+\infty)$上的函数值，那么就定义了一个单调递增的函数$W(x)$；同时将定义域在$\left(-\dfrac{1}{\rm e},0\right)$时，取其在$(-\infty,-1)$上的函数值，那么就定义了一个单调递减的函数$W_{-1}(x)$．
对数-平均值不等式（A-L-G不等式）
前面我们给出了$\ln x$的一个不太精细的界$$\ln x\leqslant x-1,$$并且在$(0,1)$上，有$\ln x>1-\dfrac 1x$．$\ln x$还有一个更精细的界：\[\forall 0<x<1, \dfrac{x-1}{\sqrt x}<\ln x<\dfrac{2(x-1)}{x+1},\]与\[\forall x>1, \dfrac{2(x-1)}{x+1}<\ln x<\dfrac{x-1}{\sqrt x}.\]图象如下：
每日一题[504]“拱”
已知函数$f(x)=x|x-a|$($a>0$)．
（1）不等式$f(x)\leqslant 1$在$[0,m]$上恒成立，当$m$取得最大值时，求$a$的值；
（2）在（1）的条件下，若对于任意$x\in\mathcal R$，不等式$f(x+t)\geqslant f(x)-t$($t>0$)恒成立，求$t$的取值范围．