若四面体$ABCD$中，$\angle CAD=\alpha$，$\angle CBD=\beta$，二面角$A-CD-B$的大小为$\theta$，$CD=2m$，则其外接球半径$$R=\dfrac{m}{\sin\alpha\sin\beta\sin\theta}\cdot\sqrt{1-(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\cos\theta)^2}.$$
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练习题集[45]基础练习
1、如下图的矩阵，按斜线分组，第一组为$(1)$，第二组为$(2,3)$，第三组为$(4,6,5)$，$\cdots $，那么第$n$组中的$n$个数的和为_______．$$\begin{matrix}1&3&5&7&9&\cdots \\ 2&6&10&14&18&\cdots \\ 4&12&20&28&36&\cdots \\ 8&24&40&56&72&\cdots \\ 16&48&80&112&144&\cdots \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{matrix}$$
每日一题[464]斗转星移
已知函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$在$O,A$两点处取得极值，其中$O$是坐标原点，$A$在曲线$y=x^2\sin x+x\cos x$($x\in\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{2{\pi}}3\right]$)上，则曲线$y=f(x)$的切线的斜率的最大值是_______．
每日一题[462]迭代函数与数列单调性
设数列$\{a_n\}$满足：$a_1=2$，$a_{n+1}=ca_n+\dfrac 1{a_n}$，其中$c$为正实数，$n\in\mathcal N^*$．记数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$．
（1）证明：当$c=2$时，$2^{n+1}-2\leqslant S_n\leqslant 3^n-1$($n\in\mathcal N^*$)；
（2）求实数$c$的取值范围，使得数列$\{a_n\}$是单调递减数列．
练习题集[44]基础练习
1、已知双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右焦点为$F_2$，$M,N$是双曲线$C$上关于坐标原点对称的两点，且$M$在$y$轴右侧．连接$MF_2$并延长交双曲线$C$于点$P$，连接$NF_2,PN$，若$\triangle NF_2P$是以$\angle NF_2P$为顶角的等腰直角三角形，则双曲线$C$的离心率为_______．
每日一题[461]差分复差分
已知$\sqrt{S_n}=\lambda a_n+c$，$a_n>0$，$a_1+a_3=2a_2$，求证：$\{a_n\}$是等差数列．
每日一题[460]离心率的三角表示
此题为2016年帷幕第二次群测试题：
设非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2$．设$\overrightarrow a$与$\overrightarrow a -\overrightarrow b$的夹角为$\alpha$，$\overrightarrow b$与$\overrightarrow b- \overrightarrow a$的夹角为$\beta$，有$$4\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha -\beta )+3=0.$$记$\overrightarrow c= 2\overrightarrow b-\overrightarrow a$，则$\dfrac{\left(\overrightarrow c-\overrightarrow b\right)\cdot \overrightarrow c}{\left|\overrightarrow c\right|}$的最小值为_______．
每日一题[459]圆中的解三角形
已知圆$E:(x-2)^2+y^2=3$，设直线$l_1:x-my-1=0$交圆$E$于$A,C$两点，直线$l_2:mx+y-m=0$交圆$E$于$B,D$两点．线段$AB,CD$分别位于$x$轴的上方和下方．当$CD$的斜率为$-1$时，求线段$AB$的长．
练习题集[43]基础练习
1、以$F_1(-3,0)$，$F_2(3,0)$为焦点的双曲线与直线$y=x-1$有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为_______．