本文研究如何从圆锥曲线（特指椭圆、双曲线、抛物线）的定义与标准方程出发，去推导与焦点相关的焦半径公式、焦点弦长公式及其相关的结论与应用．
为了方便起见，本文中不作特别说明，椭圆、双曲线、抛物线都是针对焦点在$x$轴上标准方程（其中抛物线考虑标准方程$y^2=2px,p>0$），$F(-c,0),F'(c,0)$分别为椭圆或双曲线的左、右焦点，$F\left(\dfrac p2,0\right )$是抛物线的焦点，$P(x_0,y_0)$是相应圆锥曲线上的一点．另外，所有的公式推导均以椭圆方程为例，且优先考虑左焦点对应的相关公式．双曲线可以完全类比椭圆的推导过程得到，特殊情况会另外说明． 继续阅读
已知函数$f(x)=\ln\dfrac{1+x}{1-x}$，设实数$k$使得$f(x)>k\left(x+\dfrac{x^3}3\right)$对$x\in (0,1)$恒成立，求$k$的最大值． 继续阅读
已知\(F_1,F_2\)是椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)的焦点，直线\(PQ\)过\(F_1\)且交椭圆于\(P\)、\(Q\)两点．若\(PF_1=F_1F_2\)，且\(2PF_1=3QF_1\)，求椭圆的离心率．
已知向量\(\left|\overrightarrow a\right|=\left|\overrightarrow b\right|=2\),\(\left|\overrightarrow c\right|=1\)，$(\overrightarrow c-\overrightarrow a)\cdot(\overrightarrow c-\overrightarrow b)=0$，则\(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\)的取值范围是____．
已知函数\(f(x)=\ln(1+x)-\dfrac{x(1+\lambda x)}{1+x}\)．
(1)若\(x\geqslant 0\)时，\(f(x)\leqslant 0\)，求\(\lambda\)的最小值；
(2)设数列\(\{a_n\}\)的通项是\(a_n=1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1n\)，证明：\(a_{2n}-a_n+\dfrac 1{4n}>\ln2\)．
2015年高考数学安徽理科第10题（选择压轴题）
已知函数$f\left(x\right)=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)$（$A$，$\omega$，$\varphi$均为正的常数）的最小正周期为${\mathrm \pi}$，当$x=\dfrac{2{\mathrm \pi}}{3}$时，函数$f\left(x\right)$取得最小值，则下列结论正确的是（ ）
A．$f\left(2\right)<f\left(-2\right)<f\left(0\right)$
B．$f\left(0\right)<f\left(2\right)<f\left(-2\right)$
C．$f\left(-2\right)<f\left(0\right)<f\left(2\right)$
D．$f\left(2\right)<f\left(0\right)<f\left(-2\right)$
如图，已知\(AD\)为\(\triangle ABC\)的角平分线，\(AB<AC\)，在\(AC\)上截取\(CE=AB\)，\(M,N\)分别为\(BC,AE\)的中点．求证：\(MN\parallel AD\)．
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过点\(M(2,1)\)的直线交椭圆\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}4=1\)于\(A\)、\(B\)两点，使\(M\)是弦\(AB\)的一个三等分点，求此直线的斜率． 
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如图，在\(\triangle ABC\)中，\(\angle BAC=\angle BCA=44^\circ\)，\(M\)为\(\triangle ABC\)形内一点，使得\(\angle MCA=30^\circ\)，\(\angle MAC=16^\circ\)．求\(\angle BMC\)的度数．
已知$F$是双曲线$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$的焦点，$A$是相应的顶点，$P$是$y$轴上的点，满足$\angle FPA=\alpha$，则双曲线的离心率的最小值为_____． 
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