每日一题[595]保三角函数

对函数$f(x)$,若对任意$a,b,c\in\mathcal R$,$f(a),f(b),f(c)$为某个三角形的三边长,则称$f(x)$为“保三角函数”,已知函数$f(x)=\dfrac{2^x+m}{2^x+2}$($m>0$)是“保三角函数”,则实数$m$的取值范围是______.


cover分析与解 根据题意,函数$f(x)$需要满足$\sup(f(x))\leqslant 2\inf (f(x))$,设$y=\dfrac{2^x+m}{2^x+2}$,则$$2^x=\dfrac{m-2y}{y-1}>0,$$因此$\dfrac m2$和$1$均为$y$的取值的确界,因此$\dfrac m2$的取值范围是$\left[\dfrac 12,2\right]$,对应的$m$的取值范围是$[1,4]$.

说明 $\sup(f(x))$与$\inf(f(x))$表示函数$f(x)$的上确界与下确界,即最小的上界与最大的下界.当函数有最大(小)值时,上(下)确界就是最大(小)值;一个没有上(下)界的函数不存在上(下)确界;而对于单调有界函数,在不存在最值的情况下,有时用确界的表达会带来便利,比如$a<\dfrac{1}{1+x^2}$恒成立,我们希望$a$小于右边函数的最小值,右边的函数(记为$g(x)$)无最小值,有下确界$\inf(g(x))=0$,所以$a\leqslant \inf(g(x))=0$.

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