一招搞定对称性

奇偶性是函数的基本性质,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于$y$轴对称.一般地,如果一个函数的图象关于点$(a,b)$中心对称,或者关于直线$x=m$对称,我们称这样的函数具有对称性(严格来说是具有广义奇偶性).

问题一 如果函数$f(x)$满足函数方程$f(x+1)=f(-x+1)$,那么函数$f(x)$具有什么性质?
问题二 如果函数$f(x)$的对称中心为$(1,2)$,那么$f(x)$满足什么样的函数方程?
问题三 如果函数$y=f(x+1)$是奇函数,那么$f(x)$满足什么样的函数方程?
问题四 函数$y=f(x+1)$关于$x=1$对称的函数解析式是什么?

本篇针对这四个问题一一解决,我们先从基本的概念开始.在本篇中,默认抽象的$f(x)$(即没有给出解析式的$f(x)$)定义域为$\mathcal{R}$,且函数方程都是对定义域内所有$x$成立的.为了方便,我们把“函数图象关于$\cdots$的对称”简要说成“函数关于$\cdots$的对称”.


一、轴对称
函数$f(x)$的图象关于直线$x=a$对称,可以用图象上的点来描述,即若$x$轴上的两个点关于$a$对称(考虑数轴上点的对称),则它们对应的函数值相等,如图:屏幕快照 2016-08-08 下午2.22.04关于$a$对称的点的横坐标$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=2a$,所以我们通过“和”去考虑就可以很好地绕开$f$括号内的各种形式上的变化,得到:

若两个数的和为定值$2a$时,对应的函数值相等,那么这个函数的图象关于直线$x=a$轴对称.反之也成立.

比如:(1)若$f(x)=f(4-x)$,括号内的和为$4$,所以$f(x)$关于直线$x=2$对称;
(2)若$f(-x-1)=f(x-3)$,括号内的和为$-4$,所以$f(x)$关于直线$x=-2$对称;
(3)如果$f(x)$的对称轴为$x=2$,那么有$$\begin{split} &f(x)=f(4-x),f(x+2)=f(2-x),\\&f(2x+2016)=f(-2x-2012),\cdots.\end{split}$$


二、中心对称
函数$f(x)$的图象关于点$(a,b)$对称,可以用图象上的点来描述,即若$x$轴上的两个点关于$a$对称,则它们对应的函数值关于$b$对称.即:
屏幕快照 2016-08-08 下午2.27.33若两个数的和为定值$2a$时,对应的函数值的和为定值$2b$,那么这个函数的图象关于点$(a,b)$中心对称.反之也成立.

比如:(1)若$f(x+1)+f(1-x)=4$,则函数$f(x)$关于点$(1,2)$中心对称;
(2)若$f(-x)=-f(x+6)$,则函数$f(x)$关于点$(3,0)$中心对称.
(3)若$f(x)$的对称中心为$(-1,3)$,那么有$$\begin{split} &f(x)+f(-2-x)=6,\\&f(2x+100)=6-f(-2x-102).\end{split}$$


三、抽象复合函数的奇偶性

函数$y=f(x+1)$是偶函数是什么含义呢?注意抽象复合函数的自变量仍然是$x$.而偶函数是意思是:当自变量取相反数时,函数值不变,即当$x$变成$-x$时,有$$f(-x+1)=f(x+1).$$同样的,如果$y=f(x+1)$是奇函数,那么有$$f(-x+1)=-f(x+1).$$如果$y=f(x+1)$关于$x=3$对称,那么将自变量$x$变成$6-x$时,函数值对应不变,即$$f(x+1)=f(6-x+1)=f(7-x).$$


四、两个函数的对称

上面讲的都是一个函数的图象具有的对称性,下面考虑函数$y=f(x)$的图象关于直线$x=m$对称后的函数的解析式是什么?考虑自变量$x$关于$x=m$对称得到$2m-x$,于是$y=f(x)$关于$x=m$对称的函数为$y=f(2m-x)$.

简单证明如下:我们通过点去考虑,设$y=f(x)$关于$x=m$对称的函数为$y=g(x)$,取$y=g(x)$上任意一点$(x,g(x))$,它关于$x=m$的对称点为$(2m-x,g(x))$必然在$y=f(x)$的图象上,于是有$$g(x)=f(2m-x),$$即$y=f(x)$关于直线$x=m$的对称函数为$y=f(2m-x)$.

同理有$y=f(x)$关于点$(a,b)$对称的函数为$y=2b-f(2a-x)$.

最后考虑$y=f(x+1)$关于$x=m$对称的函数解析式.将自变量$x$关于$x=m$对称得到$2m-x$,于是所求的解析式为$$y=f(2m-x+1)=f(2m+1-x).$$有兴趣的读者可以通过取点去证明.


例题一 下面说法正确的有________.
(1)若$f(a+x)=f(a-x)$,则$f(x)$关于$x=0$对称;
(2)若$f(a+x)=f(-a-x)$,则$f(x)$关于$x=0$对称;
(3)若$f(a+x)+f(a-x)=0$,则$f(x)$关于$(a,0)$对称;
(4)若$f(a+x)+f(-a-x)=0$,则$f(x)$是奇函数;
(5)若$y=f(x+a)$是奇函数,则$f(x+a)=-f(-x-a)$;
(6)$y=f(x-a)$关于$x=a$对称的函数为$y=f(a-x)$.

分析与解 (2)(3)(4)(6).
(1)中$f(x)$关于$x=a$对称;(5)中有$f(x+a)=-f(-x+a)$.


有了这些函数对称性的知识,我们就可以用它们去判断一些具体的函数是否是轴对称或中心对称函数.

例题二 对于下列函数:
(1)$f(x)=|x-1|+|x-2|$;
(2)$f(x)=x^3-3x^2+1$;
(3)$f(x)=2x-\cos x$;
(4)$f(x)=\lg{\dfrac {2x-1}{x+1}}$.
其中是轴对称函数的有______,是中心对称函数的有________.

分析与解 要判断一个函数是否具有对称性,需要先估计如果它是对称函数,对称轴或对称中心的横坐标可能是什么,才能去通过计算来验证.
(1)由$x\to+\infty$与$x\to-\infty$时,$f(x)\to+\infty$知这个函数不可能是中心对称的;又因为当且仅当$x\in [1,2]$时,$f(x)$为定值$1$,所以只需要验证$x=\dfrac 32$是不是它的对称轴即可判断它是否为轴对称函数,由$$f(3-x)=|2-x|+|1-x|=f(x)$$知$f(x)$是轴对称函数;

(2)由$x$趋于无穷时的情况知一个三次函数不可能是轴对称的,只可能是中心对称的.要寻找对称中心,可以考虑它的导函数$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2),$$从而我们知道这个三次函数的极值点分别为$0,2$,所以它的对称中心的横坐标只可能为$\dfrac {0+2}{2}=1$,下面进行验证,计算知$$f(2-x)+f(x)=-2,$$所以$(1,-1)$是它的对称中心.
更多的三次函数相关的性质,我们会在后面的导数中进行归纳总结.

(3)$f(x)$是函数$f_1(x)=2x$与$f_2(x)=\cos x$的差.因为函数$f_1(x)=2x$有无穷多个对称中心$(a,2a)$,所以$$\forall x\in\mathcal{R},f_1(x)+f_1(2a-x)=4a.$$而函数$f_2(x)$的对称中心为$\left(k\pi+\dfrac {\pi}{2},0\right),k\in\mathcal{Z}$,即$$\forall x\in\mathcal{R},f_2(x)+f_2(2k\pi+\pi-x)=0.$$所以我们有$$f(x)+f\left(2k\pi+\pi-x\right)=4k\pi+2\pi,k\in\mathcal{Z}.$$即$\left(k\pi+\dfrac {\pi}{2},2k\pi+\pi\right ),k\in\mathcal{Z}$是函数$f(x)$的对称中心.$f(x)$没有对称轴,也没有别的对称中心(读者可以思考一下怎么说明).

(4)$f(x)$的定义域为$(-\infty,-1)\cup\left(\dfrac 12,+\infty\right )$.所以它的对称轴或对称中心的横坐标只可能为$$\dfrac 12\left(-1+\dfrac 12\right)=-\dfrac 14.$$取定义域内关于$-\dfrac 14$对称的两个自变量$1,-\dfrac 32$,因为$$\begin{split} &f(1)=\lg{\dfrac 12}=-\lg 2,\\&f\left(-\dfrac 32\right )=\lg 8=3\lg 2,\end{split}$$这两个数不相等,所以$f(x)$没有对称轴.下面去判断$f(x)$是否是中心对称函数,计算得$$\begin{split} &f(x)+f\left(-\dfrac 12-x\right )\\=&\lg\dfrac {2x-1}{x+1}+\lg\dfrac {-1-2x-1}{\frac 12-x}\\=&\lg\left(\dfrac {2x-1}{x+1}\cdot\dfrac {4(x+1)}{2x-1}\right )\\=&2\lg 2,\end{split} $$所以$f(x)$有对称中心$\left(-\dfrac 14,\lg 2\right )$.


最后给出两道练习:

练习一 下列表达式中,可以说明定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x)$是偶函数的是_______:
(1)$f(x)=f(-x)$;
(2)$f(2+x)=f(2-x)$;
(3)$f(x-2)=f(-x+2)$;
(4)$f(2x-1)=f(1-2x)$;
(5)$f(2x+1)=f(-2x-1)$.

答案 (1)(3)(4)(5).


练习二 判断下列函数是否存在对称轴或对称中心,如果存在,写出一个对称轴或对称中心.
(1)$\ln{\dfrac {x+1}{x-1}}$;
(2)$f(x)=(x-3)^3+x-1$;
(3)$f(x)=x\sin x$;
(4)$f(x)=\dfrac {\sin{\pi x}}{\sqrt{x^2-2x+3}}$.

答案 (1)有对称中心$(0,0)$;
(2)有对称中心$(3,2)$;
(3)有对称轴$x=0$;
(4)有对称中心$(1,0)$.


总结 解决对称性问题抓住一个点——考虑自变量的和,一招搞定!

阅读本篇文章有困难的读者可以先阅读暑期“每周一招[7]抽象复合函数的定义域”(在传送门-方法技巧中找).

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