前面我们给出了$\ln x$的一个不太精细的界$$\ln x\leqslant x-1,$$并且在$(0,1)$上，有$\ln x>1-\dfrac 1x$．$\ln x$还有一个更精细的界：\[\forall 0<x<1, \dfrac{x-1}{\sqrt x}<\ln x<\dfrac{2(x-1)}{x+1},\]与\[\forall x>1, \dfrac{2(x-1)}{x+1}<\ln x<\dfrac{x-1}{\sqrt x}.\]图象如下：
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每日一题[504]“拱”
已知函数$f(x)=x|x-a|$($a>0$)．
（1）不等式$f(x)\leqslant 1$在$[0,m]$上恒成立，当$m$取得最大值时，求$a$的值；
（2）在（1）的条件下，若对于任意$x\in\mathcal R$，不等式$f(x+t)\geqslant f(x)-t$($t>0$)恒成立，求$t$的取值范围．
基本事件空间的列举
正确列举基本事件空间是解决古典概型问题的关键，在实际问题中，有时直接呈现的结果并不是基本事件，而是包含了一些基本事件的事件，比如：
投掷两枚完全相同的骰子，求它们的点数之和为$4$的概率． 继续阅读
每日一题[503]裂项求和
已知数列$\{a_n\}$中$a_1>2$，$a_{n+1}=a_n^2-2$．
（1）求证：$\{a_n\}$是单调递增数列；
（2）设$b_n=\dfrac{1}{a_1a_2\cdots a_n}$，且$\{b_n\}$的前$n$项和小于$\dfrac 12$，求$a_1$的取值范围．
每日一题[501]几何不等式
已知$\triangle ABC$中，$A=120^\circ$，$D$为$BC$边上的中点，$E,F$分别为$AB,AC$边上的动点，且$EF\parallel BC$，求证：$DE+DF\geqslant BD$． 
日日思君不见君，共饮运河水
前一阵子，我有个北京的帅哥学生去杭州游学，回来之后就问我北京到杭州的球面距离是多少．我知道，他一定是在游学期间结识了杭州的一位（也许是若干位）美女同学，于是回北京之后夜夜相思，遂有此问．也巧，北京和杭州正好是京杭大运河的两端．这真是日日思君不见君，共饮运河水啊．