分析、探索与优化

已知数列$\{x_n\}$满足$x_1=1$,且$x_{n+1}=x_n+[\sqrt{x_n}]$,求$\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{x_n}{n^2}$.


分析    首先利用mma观察序列$\dfrac{x_n}{n^2}$.如图,为$n=1,2,\cdots ,30$的情形.

QQ20160504-1

没有直接结果,接着往后计算.如图三个散点图的横坐标比例分别为$1:10$,$1:100$和$1:1000$.

QQ20160504-0

于是猜想$\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{x_n}{n^2}=\dfrac 14$.


探索    先证明当$n$足够大时,有$x_n\leqslant \dfrac 14n^2$.

分析通项,可得只需要$$\left[\sqrt{\dfrac 14n^2}\right]\leqslant \dfrac 14(n+1)^2-\dfrac 14n^2,$$即$$\left[\dfrac 12n\right]\leqslant \dfrac 12n+\dfrac 14,$$这显然对一切$n\in\mathcal N^*$均成立.

接下来寻找起点,经计算可得当$n=5$时,有$$x_n=6\leqslant \dfrac{25}4=\dfrac 14n^2.$$

综上,当$n\geqslant 5$时,有$x_n\leqslant \dfrac 14n^2$.

接下来寻找合适的下界,显然二次多项式$$\dfrac 14n^2+\alpha n+\beta$$均不符合要求(分析通项即知无法递推),因此考虑证明当$n$足够大时,有$x_n\geqslant \dfrac 14(n-\sqrt n)^2$.

事实上,分析通项,可知只需要$$\dfrac{n+1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\geqslant 3,$$即可进行递推证明.经计算可得当$n\geqslant 35$时,上述不等式成立.

而起点对$n$没有要求,$n=1$即可.所以至少要计算到第35项,说明$x_{35}$满足$x_n\geqslant \dfrac 14(n-\sqrt n)^2$才可以进行递推(事实上第$35$项确实满足该不等式).

综上,当$n\geqslant 35$时,有$x_n\geqslant \dfrac 14(n-\sqrt n)^2$.

这样,我们就完成了$\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{x_n}{n^2}=\dfrac 14$的证明.


优化    如果我们改用$\dfrac 14(n-\lambda\sqrt n+\mu )^2$作为下界,其中$\lambda,\mu$均为参数,那么分析通项,可知只需要$$\dfrac{n+1+\mu}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\geqslant \dfrac {\lambda}2+\dfrac{5}{2\lambda},$$即可进行递推证明

取$\lambda=\sqrt 5$,尝试将$n=5$作为归纳起点,那么由$a_5=6$,可得$\mu \leqslant \sqrt{24}$.此时考虑上述不等式,即$$(n+1+\mu)^2\geqslant 10n+5+10\sqrt{n(n+1)}.$$为了方便计算,将$\mu$放缩到$\dfrac 92$,则上述不等式即$$\left(n+\dfrac {11}2\right)^2\geqslant 10n+5+10\sqrt{n(n+1)},$$也即$$n(n+1)-10\sqrt{n(n+1)}+25+\dfrac 14\geqslant 0,$$这显然成立.

这样我们就把下界不等式的起点推进到了和上界不等式的起点一致的位置,为$n=5$.


   题中的极限值为$\dfrac 14$.只需要证明当$n\geqslant 5$时,有$$\dfrac 14\left(n-\sqrt{5n}+\dfrac 92\right)^2\leqslant x_n\leqslant \dfrac 14n^2.$$

用数学归纳法证明如下.

当$n=5$时,有$$\dfrac{81}{16}\leqslant 6\leqslant \dfrac {25}4,$$于是原不等式成立.

假设命题对$n=k$($k\geqslant 5$且$k\in\mathcal N^*$)成立,则当$n=k+1$时,一方面有$$x_{k+1}\leqslant x_k+\sqrt{x_k}\leqslant \dfrac 14k^2+\dfrac k2\leqslant \dfrac 14(k+1)^2,$$而另一方面,有$$ x_{k+1}\geqslant x_k+\sqrt{x_k}-1\geqslant \dfrac 14\left(k-\sqrt{5k}+\dfrac 92\right)^2+\dfrac 12\left(k-\sqrt{5k}+\dfrac 92\right)-1,$$接下来用分析法完成递推证明:\[\begin{split} &\qquad \dfrac 14\left(k-\sqrt{5k}+\dfrac 92\right)^2+\dfrac 12\left(k-\sqrt{5k}+\dfrac 92\right)-1\geqslant \dfrac 14\left(k+1-\sqrt{5(k+1)}+\dfrac 92\right)^2 \\ &\Leftrightarrow \left[2k+1+9-\sqrt{5}(\sqrt {k+1}+\sqrt k)\right]\left[-1+\sqrt 5(\sqrt{k+1}-\sqrt k)\right]+2k-2\sqrt 5\sqrt k+5\geqslant 0 \\& \Leftrightarrow \sqrt 5(\sqrt{k+1}-\sqrt k)(2k+11)\geqslant 10\\ &\Leftrightarrow k+\dfrac{11}{2}\geqslant \sqrt 5\left(\sqrt {k+1}+\sqrt k\right) \\ &\Leftrightarrow k(k+1)-10\sqrt{k(k+1)}+25+\dfrac 14\geqslant 0.\end{split} \]

综上所述,命题得证,因此所求极限值为$\dfrac 14$.

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