每日一题[622]二元最值

已知$x>y>0$，$x,y\in\mathcal R$，且$xy=1$，则$\dfrac{x^2+y^2}{x-y}$的最小值是______，$\dfrac{x^3+y^3}{x-y}$的最小值是______．

分析与解　根据题意，有$$\begin{split} \dfrac{x^2+y^2}{x-y}=&\dfrac{x^2+x^{-2}}{x-x^{-1}}\\=&\dfrac{(x-x^{-1})^2+2}{x-x^{-1}}\\=&\left(x-x^{-1}\right)+\dfrac{2}{x-x^{-1}}\\\geqslant &2\sqrt 2,\end{split} $$等号当$x-x^{-1}=\sqrt 2$时取得．因此$\dfrac{x^2+y^2}{x-y}$的最小值为$2\sqrt 2$．而$$\dfrac{x^3+y^3}{x-y}=\dfrac{x^3+x^{-3}}{x-x^{-1}}=\sqrt{\dfrac{x^6+x^{-6}+2}{x^2+x^{-2}-2}},$$令$x^2+x^{-2}-2=t$，则$t>0$，且$$\begin{split} \dfrac{x^3+y^3}{x-y}=&\sqrt{\dfrac{(t+2)^3-3(t+2)+2}{t}}\\=&\sqrt{9+t^2+6t+\dfrac 4t},\end{split} $$设$f(t)=9+t^2+6t+\dfrac 4t$，则其导函数$$\begin{split} f'(t)=&2t+6-\dfrac{4}{t^2}\\=&\dfrac{2(t+1)(t+1-\sqrt 3)(t+1+\sqrt 3)}{t^2},\end{split} $$于是$f(t)$的最小值为$$f(\sqrt 3-1)=9+6\sqrt 3,$$进而$\dfrac{x^3+y^3}{x-y}$的最小值为$\sqrt{9+6\sqrt 3}$．