已知数列$\{a_n\}$中，$a_n>1$，$a_1=2$，$a_{n+1}^2-a_{n+1}-a_n^2+1=0$．
（1）求证：$\dfrac{n+7}4\leqslant a_n<a_{n+1}\leqslant n+2$；
（2）求证：$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{2a_k^2-3}<1$．
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每日一题[528]数列上下界的交叉估计
已知数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$($n\in\mathcal N^*$)，求$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n}$．
问题征解[26]代数不等式（已解决）
(2006年罗马尼亚国家集训队试题)设$x,y,z>0$且$x+y+z=3$，求证：$x^2+y^2+z^2\leqslant \dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}$．
每日一题[527]极值点漂流
设$x>1$，$f(x)=x\ln x$，$g(x)=x{\rm e}^{-x}$，$h(x)=\min\{f(x),g(x)\}$．记$p(x)=f(x)-g(x)$的零点为$x_0$且$h(x_1)=h(x_2)$，比较$2x_0$与$x_1+x_2$的大小．
练习题集[55]基础练习
1、已知$f(x)=|x+1|+|x+2|+\cdots +|x+2016|+|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-2016|$($x\in\mathcal R$)，且集合$M=\{a|f(a^2-a-2)=f(a+1)\}$，则集合$N=\{f(a)|a\in M\}$的元素个数为_______． 继续阅读
每日一题[526]投石问路
对任意的实数$m,n$，当$0<n<m<\dfrac 1a$时，恒有$\dfrac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[n]{m}}>\dfrac{n^a}{m^a}$成立，则实数$a$的最小值为_______．
概率的乘法公式
独立事件的概率乘法公式大家比较熟悉，若事件$A$与$B$相互独立，则$A$与$B$同时发生的概率$$P(AB)=P(A)P(B).$$这个公式可以推广到$n$个事件两两独立的情形，用它可以计算独立重复试验的概率．还有一个乘法公式大家有时会被使用，但是使用前提常常非常含糊，那就是由条件概率的定义引出的概率乘法公式． 继续阅读
每日一题[525]蝉蜕
已知定义域为$\mathcal R$的函数$f(x)=\dfrac{2^x+b}{2^{x+1}+a}$是奇函数，求$a,b$的值．
直线的法向量与平行垂直直线系
初中时，我们接触的直线方程为$y=kx+b$的形式，而在高中，我们有时会直接面对直线的一般式方程$Ax+By+C=0$，需要我们去习惯不转化成斜截式，直接得到与它平行或垂直的直线．我们可以借助于直线的法向量（是指与直线垂直的向量）去理解与记忆，直线$Ax+By+C=0$的法向量$\overrightarrow n=(A,B)$，如图． 继续阅读