Math173

这是我在QQ群中国数学解题研究会中看到的问题：

已知平面向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$满足$\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$($x,y\in\mathcal R$)，且$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}>0$，$\overrightarrow {b}\cdot\overrightarrow{c}>0$．

A．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$，则$x>0$，$y>0$

B．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}<0$，则$x<0$，$y<0$

C．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，则$x>0$，$y>0$

D．若$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}>0$，则$x<0$，$y<0$

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我们知道，当$x$为锐角时，$\sin x<x$而$\tan x>x$，那么$\sin x\cdot \tan x$和$x^2$的大小关系究竟如何呢？这是一道有趣的函数不等式证明题：

已知$x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\sin x\cdot \tan x>x^2$．

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本题是一个学生的问题：

已知不等式$ax^2-|x+1|+3a\geqslant 0$的解集为$\mathcal R$，求$a$的取值范围．

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在扇形$AOB$中，$OA=OB=1$，$\angle AOB=\dfrac{\pi}3$，$C$为弧$AB$(不包含端点)上的一点，且$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$．

（1）求$x+y$的取值范围；

（2）若$t=x+\lambda y$存在最大值，求$\lambda$的取值范围．

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已知直线$ax+by-1=0$（$a,b$不全为$0$）与圆$x^2+y^2=50$有公共点，且公共点横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有____条．

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已知$2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$，$m,n$均为整数，且$1\leqslant m \leqslant 2012$．求满足$$5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$$的有序整数对$(m,n)$共有多少对？

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