已知$2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$，$m,n$均为整数，且$1\leqslant m \leqslant 2012$．求满足$$5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$$的有序整数对$(m,n)$共有多少对？
正确答案是$279$．
解 易知$5^n$与$5^{n+1}$之间只能有$2$个或$3$个$2^m$形式的数．因为$2^{2013}<5^{867}<2^{2014}$，所以当$1\leqslant m \leqslant 2012$时，只需考虑以下$867$个区间：$$(5^0,5^1),(5^1,5^2),\cdots,(5^{866},5^{867}),$$设这些区间中有$2$个$2^m$形式的数的区间个数为$x$，有$3$个$2^m$形式的数的区间个数为$y$，则$$\begin{cases}x+y=867,\\2x+3y=2013.\end{cases} $$解得$$\begin{cases}x=588,\\y=279.\end{cases} $$所以满足$5^n<2^m<2^{m+2}<5^{n+1}$的有序整数对$(m,n)$共有$279$对．