设$a,b$为实数，且$|a|+|b|<1$，方程$x^2+ax+b=0$存在两个实根$\alpha,\beta$，求证：$|\alpha|<1$且$|\beta|<1$． 继续阅读
一、填空题：本大题共$8$小题，每小题$8$分，共$64$分．
1．设实数$a$满足$a<9a^3-11a<|a|$，则$a$的取值范围是______． 继续阅读
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$x$轴上有不同于长轴端点的两点$M(m,0)$和$N(n,0)$，过$M$作直线$AB$与椭圆$E$交于点$A,B$，直线$AN$和直线$BN$分别交椭圆$E$于$C,D$，求证：直线$AB$与直线$CD$的斜率之比为定值．
讨论函数$f(x)=x^2+2(1-a)x-4a$与函数$g(x)=\dfrac 1x-(a+1)^2$的图象的公切线条数． 继续阅读
给定正实数$x_1,y_1,z_1$，定义数列$\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$如下：$$x_{n+1}=y_n+\dfrac 1{z_n},y_{n+1}=z_n+\dfrac{1}{x_n},z_{n+1}=x_n+\dfrac 1{y_n},$$求证：$x_{200},y_{200},z_{200}$中至少有一个数大于$20$． 继续阅读
已知$f(x)=x^2+2x-3$，若集合$M=\{ (x,y)\mid f(x)+f(y)\leqslant 0 \}$，集合$N=\{ (x,y) \mid f(x)-f(y)\geqslant 0\}$，则集合$M\cap N$在坐标平面内表示的区域的面积是_______． 继续阅读
当两个数的和是定值时，对应的函数值相等——轴对称函数；当两个数的和为定值时，函数值的和也为定值——中心对称函数．
当两个数的差是定值时，对应的函数值相等，对应的函数有什么性质呢？
当两个数的差是定值时，对应的函数值的和或积是定值，对应的函数有什么性质呢？
这就是本篇要关注的周期性． 继续阅读
已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+2}-1$($n\in\mathcal N^*$)，求证：$\dfrac 14n<a_1+a_2+\cdots +a_n\leqslant n$． 继续阅读
