每日一题[738]代数条件直观化

已知关于$x$的方程$x^2+2bx+c=0$($b,c\in\mathbb R$)在$[-1,1]$上有实根,且$0\leqslant 4b+c\leqslant 3$,则$b$的取值范围是_______.


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分析与解 $[0,2]$.

根据题意,直线$y=2bx+c$与抛物线的一部分(包含端点)$y=-x^2$($x\in [-1,1]$)以及线段$AB$均有公共点,其中$A(2,0)$,$B(2,3)$,如图.
%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-13-%e4%b8%8a%e5%8d%8810-17-41不难得到直线$y=2bx+c$的斜率$2b$的最小值为$0$(当直线过点$(0,0)$和点$A(2,0)$时取得),最大值为$4$(当直线过点$(1,-1)$和点$B(2,3)$时取得).因此$b$的取值范围是$[0,2]$.

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