每日一题[737]平面向量的几何角度

已知向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$满足$\Big|\overrightarrow  a\Big|=1$,$\Big|\overrightarrow  a-\overrightarrow  b\Big|=\Big|\overrightarrow  b\Big|$,$\left(\overrightarrow  a-\overrightarrow  c\right)\cdot \left(\overrightarrow  b-\overrightarrow  c\right)=0$.对于确定的$\overrightarrow  b$,记$\overrightarrow  c$的长度的最大值和最小值分别为$m,n$,则当$\overrightarrow  b$变化时,$m-n$的最小值是_______.


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分析与解 $\dfrac 12$.

设$\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {a},\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {b},\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {c}$,则由题意知$$OA=1,OB=AB,AC\perp BC.$$所以点$C$在以$AB$为直径的圆上,记$OA$的中点为$M$,则有$BM\perp OA$,所以点$M$也在以$AB$为直径的圆上,如图:%e5%b1%8f%e5%b9%95%e5%bf%ab%e7%85%a7-2016-12-12-%e4%b8%8a%e5%8d%8811-05-57当点$C$在圆上运动时,$m-n=2r=OB$,所以即求$OB$的最小值.当$O,A,B$三点共线时,即$M,B$重合时,$OB$取到最小值$\dfrac 12$.

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每日一题[737]平面向量的几何角度》有 2 条评论

  1. sharklasers说:

    老师好。我利用正三角形做特例检验,发现m-n=(sqrt(3)-1)/2,但是未发现错误。
    m,n的求法与答案思路一致。

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