已知$f(x)=\ln x-x^2+x$．
(1) 求函数$f(x)$的单调区间；
(2) 证明：当$a\geqslant 2$时，关于$x$的不等式$f(x)<\left(\dfrac a2-1\right)x^2+ax-1$恒成立；
(3) 若正实数$x_1,x_2$满足$$f(x_1)+f(x_2)+2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=0,$$证明：$x_1+x_2>\dfrac{\sqrt 5-1}2$．
标签
每日一题[787]按需构造
每日一题[786]角的范围估计
在锐角$\triangle ABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，若$\dfrac{b^2}{ac}\geqslant \dfrac{\cos^2B}{\cos A\cdot\cos C}$，则$B$的取值范围是____．
每日一题[785]求和放缩
设$a_n=n(n+1)\cdot 2^n$，$n\in\mathbb N^*$．
(1) 求证：$\dfrac{3}{a_1}+\dfrac{4}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+2}{a_n}<1$；
(2) 求证：$\dfrac{4}{a_1}+\dfrac{5}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+3}{a_n}<\dfrac 43$．
每日一题[784]参数方程
已知$A,B$为双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($b>a>0$)上的两点，且以线段$AB$为直径的圆通过坐标原点$O$，则$\triangle AOB$面积的最小值为________．
每日一题[783]微妙的平衡
已知$x\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$．
(1) 求证：$\sin x+\tan x>2x$；
(2) 求证：$2\sin x+\tan x>3x$．
每日一题[782]直线与双曲线
已知直线$y=\dfrac{2\sqrt 5}5x$与双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)交于$A,B$两点，若在双曲线上存在点$P$，使得$|PA|=|PB|=\dfrac{\sqrt 3}2|AB|$，则双曲线的离心率$e$为______．
每日一题[781]图象间的距离
设函数$f(x)=x^2$($0\leqslant x\leqslant 1$)，记$H(a,b)$为函数$f(x)$的图象上的点到直线$y=ax+b$的距离的最大值，则$H(a,b)$的最小值是________．
练习题集[91]拓展练习
1．已知$P$是双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$上一点，过$P$作$C$的两条渐近线的垂线，垂足分别为$A,B$，则$\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}=$_______．
每日一题[780]立方体中的动点
已知棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的中心为$O$，$P$是正方体表面上一点，且直线$OP$与直线$AB_1$所成的角为$\dfrac{\pi}4$，求$OP$的取值范围．
每日一题[779]层层深入
已知函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$，$g(x)=3x^2+2ax+b$．若$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，则下列结论正确的是________．
(1)$f(0)\cdot f(1)\leqslant 0$；
(2)$g(0)\cdot g(1)\geqslant 0$；
(3)$a^2-3b$有最小值．