设椭圆的方程为$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，线段$PQ$是过左焦点$F$且不与$x$轴垂直的焦点弦．若在左准线上存在点$R$，使$\triangle PQR$为正三角形，求椭圆的离心率$e$的取值范围，并用$e$表示直线$PQ$的斜率．
1．若存在实数$a$使得$|x+a|\leqslant \ln x+1$在$x\in [1,m]$上恒成立，则$m$的最大正整数值为_______．
当$m,a,b$满足什么关系时，椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)和抛物线$y=x^2+m$有四个不同的交点？并证明这四个交点共圆．
设函数$f(x)=\dfrac{a^2+a\sin x+2}{a^2+a\cos x+2}$($x\in \mathcal R$)的最大值为$M(a)$，最小值为$m(a)$，则（ ）
A．$\forall a\in\mathcal R,M(a)\cdot m(a)=1$
B．$\forall a\in\mathcal R,M(a)+m(a)=2$
C．$\exists a\in \mathcal R,M(a)+m(a)=1$
D．$\exists a\in\mathcal R,M(a)\cdot m(a)=2$
给定正整数$n$，正六边形的六个顶点处各写有一个非负整数，其和为$n$．现在可以进行如下操作：擦掉一个顶点上的数，然后写上相邻两个顶点上的数的差的绝对值．求所有的$n$，使得无论开始时写有哪些整数，都可以进行一系列操作，使得每个顶点上的数都是$0$．
已知$A,B\in [0,\pi]$，则$\left[\sin A+\sin (A+B)\right]\cdot \sin B$的最大值是______．
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一个数字生成器，生成规则如下：第$1$次生成一个数$x$，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数$x$生成两个数，一个是$-x$，另一个是$x+3$．设第$n$次生成的数的个数为$a_n$，则数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=$_______；若$x=1$，前$n$次生成的所有数中不同的数的个数为$T_n$，则$T_n=$_______．
已知$f(x)=a\ln x+\dfrac{1-a}2x^2-x$，若存在$x\geqslant 1$，使得$f(x)<\dfrac a{a-1}$，则实数$a$的取值范围是______．
已知抛物线$y=x^2+bx+c$与坐标轴交于$A,B,C$三点．求证：$\triangle ABC$的外接圆恒过一定点$P$．
