每日一题[637]此消彼长

若存在$a\in\mathcal R$,使关于$x$的不等式$x|x-a|<m$在$[0,1]$上恒成立,则实数$m$的取值范围是_______.


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分析与解 问题的关键在于求出当$a\in\mathcal R$,$x\in[0,1]$时,函数$f(x)=x|x-a|$的最大值$M(a)$的最小值.易知$$M(a)=\begin{cases} \max\left\{f\left(\dfrac{a}2\right),f(1)\right\},&a\in [0,2],\\ f(1),&a\in (-\infty,0)\cup (2,+\infty).\end{cases} $$如图,当$0<a<2$且$f\left(\dfrac a2\right)=f(1)$时,函数$M(a)$取得最小值.屏幕快照 2016-08-22 上午11.09.38此时$\dfrac{a^2}4=1-a$,解得$a=-2+2\sqrt 2$,于是$M(a)$的最小值为$3-2\sqrt 2$,进而实数$m$的取值范围是$(3-2\sqrt 2,+\infty)$.

注 本题关键在于仔细读题,理解实数$m$的真实含义.

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