已知$a,b\in\mathbb R$，若函数$f(x)=|a\sin x+b\cos x-1|+|b\sin x-a\cos x|$的最大值为$11$，则$a^2+b^2$的值是______．
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每日一题[795]焦点弦长公式
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{32}=1$，$F_1,F_2$是$E$的左、右焦点，$AB$是过$F_1$的焦点弦，且$\triangle AF_2B$的面积为$32$，求$|AB|$．
每日一题[794]三次方程的根
已知关于$x$的方程$x^3-3x+4=0$的三个根分别为$a,b,c$，求$(a-b)(b-c)(c-a)$的值．
每日一题[793]先探索 再证明
是否存在正整数$a$，使得${\rm e}^x-ax\geqslant x^2\ln x$对一切$x>0$恒成立？若存在，求出$a$的最大值；若不存在，请说明理由．
每日一题[792]层层分解
已知函数$f(x)={\rm e}^x\left(2-{\rm e}^x\right)+(a+2)\left|{\rm e}^x-1\right|-a^2$的零点个数为$3$，则实数$a$的取值范围是________．
每日一题[791]圆与双曲线
设$F_1,F_2$为双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左、右焦点，双曲线$C$与圆$x^2+y^2=r^2$的一个交点为$P$，若$\dfrac{|PF_1|+|PF_2|}{r}$的最大值为$4\sqrt 2$，则双曲线的离心率$e$为________．
每日一题[790]披着解析式外衣的性质
已知函数$f(x)=2x|x|$，若对任意的$x\geqslant 1$，$f(x-m)-mf(x)<0$恒成立，则实数$m$的取值范围是________．
每日一题[789]复合函数的联合图象
已知函数$f(x)=\begin{cases} \ln x,&x\geqslant 1,\\ 1-\dfrac x2,&x<1,\end{cases} $若$F(x)=f(f(x)+1)+m$有两个零点$x_1,x_2$，则$x_1+x_2$的取值范围是______．
每日一题[788]四棱锥染色
用$6$种不同的颜色对正四棱锥$P-ABCD$的$8$条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有________ .
练习题集[92]基础练习
1．已知点$P$是椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{8}=1$上的一个动点，$F_1,F_2,O$分别为椭圆的左焦点、右焦点和中心，过$F_1$作$\angle F_1PF_2$的角平分线的垂线，垂足为$M$，则$OM$的取值范围是_______．