每日一题[635]长短不一

以正$12$边形的顶点为端点的线段中任选$3$条,能构成三角形的三条边的概率为_____.


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分析与解 正$12$边形共有${\rm C}_{12}^2=66$条线段,设其外接圆半径为$1$,则其中长度为$$2\sin 15^\circ,2\sin 30^\circ,2\sin 45^\circ,2\sin 60^\circ,2\sin 75^\circ$$的各有$12$条,长度为$2\sin 90^\circ$的有$6$条,将这些边长分别记为$a,b,c,d,e,f$,则不能构成三角形的三条边的情形有$$aac,aad,aae,aaf,abd,abe,abf,ace,acf,bbf,$$因此所求的概率为$$1-\dfrac{{\rm C}_{12}^2{\rm C}_{42}^1+{\rm C}_{12}^1{\rm C}_{12}^1{\rm C}_{30}^1+{\rm C}_{12}^1{\rm C}_{12}^1{\rm C}_{18}^1+{\rm C}_{12}^2{\rm C}_6^1}{{\rm C}_{66}^3}=\dfrac {223}{286}.$$

 注意$a=2\sin 15^\circ=\sqrt{2-\sqrt 3}\approx 0.52$,$e=2\sin 75^\circ=\sqrt{2+\sqrt 3}\approx 1.93$,且有$e-a=\sqrt{2+\sqrt 3}-\sqrt{2-\sqrt 3}=\sqrt 2=c$.

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