每日一题[634]复数模长的最值

已知复数$z_1,z_2$满足$|z_1+z_2|=20$,$|z_1^2+z_2^2|=16$,则$|z_1^3+z_2^3|$的最小值是_____.


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分析与解 根据题意,有\[\begin{split} |z_1^3+z_2^3|&=\left|(z_1+z_2)(z_1^2-z_1z_2+z_2^2)\right|\\
&=\left|(z_1+z_2)\cdot \dfrac{3(z_1^2+z_2^2)-(z_1+z_2)^2}2\right|\\
&\geqslant |z_1+z_2|\cdot \dfrac {|z_1+z_2|^2-3|z_1^2+z_2^2|}2\\
&=3520,\end{split} \]等号当$(z_1+z_2)^2$与$z_1^2+z_2^2$同向时取到.因此所求的最小值为$3520$.


 等号取到时,$z_1z_2$与$z_1^2+z_2^2$共线,从而有$(z_1+z_2)^2$与$(z_1-z_2)^2$共线,所以$z_1+z_2$与$z_1-z_2$共线或垂直.
如果$z_1+z_2$与$z_1-z_2$共线,那么可以得到$z_1,z_2$共线,容易证明此时无解;
如果$z_1+z_2$与$z_1-z_2$垂直,那么$|z_1|=|z_2|$,从而设$$z_1=r(\cos\alpha+{\mathrm i}\sin\alpha),z_2=r(\cos\beta+{\mathrm i}\sin\beta),r>0$$

代入条件中整理得$$\begin{cases} r\cdot\sqrt{2+2\cos(\alpha -\beta)}=20,\\r^2\sqrt{2+2\cos(2\alpha -2\beta)}=16.\end{cases}$$解得$$\begin{cases} r=8\sqrt 3,\\\cos(\alpha-\beta)=\dfrac{1}{24},\end{cases} \ \text{或}\ \begin{cases} r=4\sqrt{13},\\ \cos(\alpha-\beta)=-\dfrac{1}{26}.\end{cases} $$验证知,前者对应$|z_1^3+z_2^3|$的最小值,后者对应$|z_1^3+z_2^3|$的最大值$4480$.
可以对$z_1,z_2$进行具体取值,比如取$\beta=0$,得到$$z_1=8\sqrt 3\left(\dfrac{1}{24}\pm\dfrac{5\sqrt{23}}{24}{\mathrm i}\right),z_2=8\sqrt 3.$$就是$|z_1^3+z_2^3|$取最小值时的一组解.同样地$$z_1=4\sqrt{13}\left(-\dfrac 1{26}\pm\dfrac {15\sqrt{3}}{26}{\mathrm i}\right ),z_2=4\sqrt{13}.$$就是$|z_1^3+z_2^3|$取最大值时的一组解.

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