每日一题[640]居高临下

设无穷项数列$\{a_n\}$满足:$a_{n+1}a_n+3a_{n+1}+a_n+4=0$,若$a_{2016}$为数列$\{a_n\}$中的最小项,则$a_1$的取值范围是______.


cover分析与解 考虑不动点方程为$x^2+4x+4=0$,因此不动点为$-2$,于是可以将数列递推公式改造为$$\dfrac{1}{a_{n+1}+2}-\dfrac{1}{a_n+2}=1.$$设$f(x)=\dfrac{1}{x+2}$,则$\{f(a_n)\}$成公差为$1$的等差数列,如图. 屏幕快照 2016-08-19 下午4.20.27因此由$f(a_{2016})=f(a_1)+2015\in (-1,0)$,可得$$-2016<\dfrac{1}{a_1+2}<-2015,$$解得$a_1$的取值范围是$\left(-\dfrac{4031}{2015},-\dfrac{4033}{2016}\right)$.

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