每日一题[643]定比点差法

过点$P(3,1)$的动直线$l$与双曲线$C:\dfrac{x^2}3-y^2=1$的左、右两支分别交于点$A,B$,在线段$AB$上取不同于$A,B$的点$Q$,满足$|AP|\cdot |QB|=|AQ|\cdot |PB|$,求证:点$Q$总在某条定直线上.


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分析与解 由于$|AP|\cdot |QB|=|AQ|\cdot |PB|$,不妨设$\overrightarrow {AP}=\lambda \overrightarrow {PB}$,$\overrightarrow {AQ}=-\lambda \overrightarrow {QB}$,$A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,则利用定比点差法,有$$P\left(\dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda},\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\right),Q\left(\dfrac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda},\dfrac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda}\right),$$于是由$$\dfrac{x_1^2}3-y_1^2=1,\dfrac{\lambda^2x_2^2}{3}-\lambda^2y_2^2=\lambda^2,$$两式相减得$$\dfrac{(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}3-(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)=1-\lambda^2,$$整理,即$$\dfrac 13\cdot \dfrac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda}\cdot\dfrac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda}-\dfrac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda}\cdot \dfrac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda }=1,$$
从而$$\dfrac{x_1-\lambda x_2}{1-\lambda}-\dfrac{y_1-\lambda y_2}{1-\lambda}-1=0,$$因此点$Q$在定直线$x-y-1=0$上.

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每日一题[643]定比点差法》有 2 条评论

  1. benzuo说:

    看到最后代入的,妙

  2. benzuo说:

    P点的坐标没用吗?

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