每日一题[642]换元的妙用

已知实数$a,b$满足$a^2\geqslant 4b$,求$(1-a)^2+(a-b)^2+(1-b)^2$的最小值.


10614283_160711151108_2分析与解 设$a=x+y$,$b=xy$,其中$x,y\in\mathcal R$,则\[\begin{split} (1-a)^2+(a-b)^2+(1-b)^2&=2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2\\
&=2(x+y)^2+2x^2y^2-2xy(x+y)-2(x+y)-2xy+2\\
&=2\left(x^2y^2-x^2y-xy^2+x^2+y^2+xy-x-y+1\right)\\
&=2\left(x^2-x+1\right)\left(y^2-y+1\right)\\
&\geqslant 2\cdot \dfrac 34\cdot \dfrac 34=\dfrac 98,\end{split}\]等号当且仅当$x=y=\dfrac 12$,即$a=1,b=\dfrac 14$时取得.


利用换元处理掉题中难以直接应用的限制条件是解决问题的关键.最后给出一道练习:

练习 已知$a,b\in\mathcal R$,$a^3+b^3=1$,求$a+b$的取值范围.

 设$a+b=x$,$ab=y$,且$x^2\geqslant 4y$,则$$1=a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=x^3-3xy,$$于是可得$y=\dfrac 13\left(x^2-\dfrac 1x\right)$,从而$$\dfrac 43\left(x^2-\dfrac 1x\right)\leqslant x^2,$$解得$x$的取值范围是$\left(0,\sqrt[3]{4}\right]$,即$a+b$的取值范围.

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