已知$\triangle ABC$是等轴双曲线$H$上的内接三角形，$P,Q,R$分别是边$CA,AB,BC$上的中点，求证：$\triangle PQR$的外接圆恒过定点．
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升级版“兔子数列”
已知正整数数列$\{a_n\}$满足$\forall n\in\mathbb N^*$，$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，且$a_k=2017$，求$k$的最大值．
每日一题[804]变幻的二次函数
设函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a>b>c$)的图象经过点$A(m_1,f(m_1))$，$B(m_2,f(m_2))$，$f(1)=0$．若$a^2+(f(m_1)+f(m_2))a+f(m_1)\cdot f(m_2)=0$，则( )
A．$b\geqslant 0$
B．$b<0$
C．$3a+c\leqslant 0$
D．$3a-c<0$
每日一题[803]游刃有余
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，点$P(x_0,y_0)$是椭圆$E$内部一点，过$P$作直线$l$与椭圆$E$交于$A,B$两点，设椭圆$E$在$A,B$处的切线交于点$Q$，求$Q$点的轨迹方程，并求$\triangle QAB$面积的最小值．
每日一题[802]平面向量的模长
已知$\overrightarrow m,\overrightarrow n$是两个非零向量，且$|\overrightarrow m|=2$，$|\overrightarrow m+2\overrightarrow n|=2$，则$|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|$的最大值是_______．
每日一题[801]构造函数证明不等式
(1) 求函数$f(x)=x\ln x-(1-x)\ln (1-x)$在$0<x\leqslant \dfrac 12$上的最大值；
(2) 已知$0<x<1$，求证：$x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant \sqrt 2$．
每日一题[800]兵分两路
已知直线$l:x=t$与椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)相交于$A,B$两点，$M$是椭圆$C$上一点，设直线$MA,MB$分别与$x$轴交于$E,F$两点，$O$为坐标原点，求证：$|OE|\cdot |OF|$为定值．
每日一题[799]换元显神通
已知$x>2y>0$，$\dfrac x2+\dfrac 1y+\dfrac 8{x-2y}=10$，求$x$的最大值．
每日一题[798]数列与不等式
已知数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足$a_1=2$，$b_n=\dfrac{2(a_n+2)}{a_{n+1}-a_n}$．
(1)若$b_n=4a_n$，求证：$a_n\geqslant \dfrac{n+2}2$；
(2)若$(b_{n+1}-b_n)a_n=2(b_n+2)$且$b_1=3$，求证：$a_n<18$．
每日一题[797]“六芒星”闪耀
如图，两个正三角形$ABC,A_1B_1C_1$组成“六芒星”，$O$为“六芒星”的中心，$P$为“六芒星”图案上一点(边界上)，且$\overrightarrow {OP}=x\overrightarrow {OD}+y\overrightarrow {OC_1}$，则$x+y$的取值范围是________．
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