每日一题[710]排排座

(2012年上海卷)对于数集$X=\{-1,x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$,其中$0<x_1<x_2<\cdots <x_n$,$n\geqslant 2$.定义向量集$Y=\{\overrightarrow a\mid \overrightarrow a=(s,t),s,t\in X\}$,若对任意$\overrightarrow a_1\in Y$,存在$\overrightarrow a_2\in Y$,使得$\overrightarrow a_1\cdot \overrightarrow a_2=0$,则称$X$具有性质$P$.例如$\{-1,1,2\}$具有性质$P$.
(1) 若$x>2$,且$\{-1,1,2,x\}$具有性质$P$,求$x$的值;
(2) 若$X$具有性质$P$,求证:$1\in X$,且当$x_n>1$时,$x_1=1$;
(3) 若$X$具有性质$P$,且$x_1=1$,$x_2=q$($q$为常数),求有穷数列$x_1,x_2,\cdots ,x_n$的通项公式.


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分析与解 (1) 取$\overrightarrow a_1=(2,x)$,则对应的$\overrightarrow a_2$必然为$\left(\dfrac 12x,-1\right)$,于是$x=4$.

(2) 因为若取$\overrightarrow a_1=(x_1,x_1)$,那么$\overrightarrow a_2$必然为$(1,-1)$或$(-1,1)$,于是$1\in X$.接下来用反证法证明当$x_n>1$时,$x_1=1$.

若不然,则$0<x_1<1=x_k<x_n$($1<k<n$且$k\in\mathbb N^*$),此时取$\overrightarrow a_1=(x_1,x_n)$,则对应的$\overrightarrow a_2$为$\left(-1,\dfrac{x_1}{x_n}\right)$或$\left(\dfrac{x_n}{x_1},-1\right)$.由于$$\dfrac{x_1}{x_n}<x_1,\dfrac{x_n}{x_1}>x_n,$$于是$\dfrac{x_1}{x_n},\dfrac{x_n}{x_1}\notin X$,矛盾.因此当$x_n>1$时,$x_1=1$.

(3) 设集合$$M=\left\{\dfrac{x_i}{x_j}\mid x_i,x_j\in X\right\},$$对于任意$\dfrac {x_i}{x_j}\in M$,因为$(x_i,x_j)\in Y$,所以$\left(-1,\dfrac {x_i}{x_j}\right)$与$\left(\dfrac {x_j}{x_i},-1\right)$中至少有一个元素在$Y$中,记为$x_k$,于是我们得到$$M\subseteq\{-x_n,\cdots ,-1,1,q,\cdots ,x_n\}.$$又因为$x_k=\dfrac {x_k}{x_1}\in M$,所以$-x_k=\dfrac {x_k}{-1}\in M$,所以有$$\{-x_n,\cdots ,-1,1,q,\cdots ,x_n\}\subseteq M,$$于是$M=\{-x_n,\cdots ,-1,1,q,\cdots ,x_n\}$,共$2n$个元素.考虑到\[\begin{split} &\dfrac{x_n}{x_{n-1}}<\dfrac{x_n}{x_{n-2}}<\cdots <\dfrac{x_n}{x_2}<\dfrac{x_n}{x_1},\\&\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-2}}<\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-3}}\cdots <\dfrac{x_{n-1}}{x_1},\\&\cdots ,\\&\dfrac{x_4}{x_3}<\dfrac{x_4}{x_2}<\dfrac{x_4}{x_1},\\&\dfrac{x_3}{x_2}<\dfrac{x_3}{x_1},\\&\dfrac{x_2}{x_1},\end{split} \]而$$\dfrac{x_3}{x_1}<\dfrac{x_4}{x_1}<\cdots <\dfrac{x_{n-1}}{x_1}<\dfrac{x_n}{x_1},$$于是$$\dfrac{x_n}{x_{n-1}}=\dfrac{x_{n-1}}{x_{n-2}}=\cdots =\dfrac{x_4}{x_3}=\dfrac{x_3}{x_2}=\dfrac{x_2}{x_1}=q,$$因此数列$\{x_n\}$的通项公式为$x_k=q^{k-1}$($k=1,2,\cdots ,n$).

思考与总结 第(3)小题中通过构造集合$M$,配合有限数集中数的大小排序,找到其中的对应关系.

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