每日一题[1017]发掘规律

设$u,v,w,x_n$($n\in\mathbb N^*$)均为实数,若$u\cdot x_n,v+|x_{n+1}|,w\cdot x_{n+2}$成等差数列($n\in\mathbb N^*$),则称数列$\{x_n\}$具有性质$T(u,v,w)$,已知$y_n\ne 0$($n\in\mathbb N^*$),且数列$\{y_n\}$具有性质$T(2,0,2)$,如果存在$\theta\in\left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right)$使得$y_1=\sin\theta$,$y_2=\cos\theta$,那么在数列$\{y_n\}$的前$2017$项中,值为负数的项的个数为________.


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正确答案是$449,673$.

分析与解 根据题意,有$y_{n+2}=|y_{n+1}|-y_n,n\in\mathbb N^*$.由于$\theta$在第四象限,于是$y_1<0$,$y_2>0$,记$y_1=-a$,$y_2=b$,$a,b>0$.则\[\begin{aligned}y_3&=b+a,\\y_4&=|b+a|-b=a,\\y_5&=|a|-(b+a)=-b,\\y_6&=|-b|-a=b-a,\\y_7&=|b-a|-(-b)=|b-a|+b,\\y_9&=\big||b-a|+b\big|-(b-a)=|b-a|+a,\\y_{10}&=\big||b-a|+a\big|-\big(|b-a|+b\big)=a-b,\\y_{11}&=|a-b|-\big(|b-a|+a\big)=-a,\\y_{12}&=|-a|-(a-b)=b,\end{aligned}\]因此数列$\{y_n\}$以$9$为周期,且每个周期中的负数有$2$个($a=b$)或$3$($a\ne b$)个.

因此所求值为负数的项的个数为$449$或$673$.

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