每日一题[1011]各有千秋

已知$a,b>0$,且$a+\dfrac 2a+3b+\dfrac 4b=10$,则$ab$的取值范围是________.


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正确答案是$\left[1,\dfrac 83\right]$.

分析与解 判别式法 令$ab=x$,则\[a+\dfrac 2a+\dfrac {3x}{a}+\dfrac{4a}{x}=10,\]即\[(x+4)a^2-10x\cdot a+3x^2+2x=0,\]由判别式\[\Delta=(-10x)^2-4(x+4)(3x^2+2x)\geqslant 0,\]可得\[x(3x^2-11x+8)\leqslant 0,\]解得$1\leqslant x\leqslant \dfrac 83$.而当$a=1$时,$x=1$;当$a=2$时,$x=\dfrac 83$;结合连续性可知所求的取值范围是$\left[1,\dfrac 83\right]$.

均值不等式 一方面,有\[10=a+\dfrac 1a+\dfrac 1a+b+b+b+\dfrac 1b+\dfrac 1b+\dfrac 1b+\dfrac 1b\geqslant 10\left(\dfrac{1}{ab}\right)^{\frac 1{10}},\]于是$ab\geqslant 1$,等号当$(a,b)=(1,1)$时取得.

另一方面,有\[10=\dfrac a2+\dfrac a2+\dfrac 2a+\dfrac {3b}4+\dfrac {3b}4+\dfrac{3b}4+\dfrac{3b}4+\dfrac 4{3b}+\dfrac 4{3b}+\dfrac 4{3b}\geqslant 10\left(\dfrac{3ab}{8}\right)^{\frac 1{10}},\]于是$ab\leqslant \dfrac 83$,等号当$(a,b)=\left(2,\dfrac 43\right)$时取得.

综上所述,所求的取值范围是$\left[1,\dfrac 83\right]$.

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每日一题[1011]各有千秋》有 3 条评论

  1. cbc123e说:

    都是用手机看的,怎么打印PDF?

  2. LG说:

    可以下载PDF吗?

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