2017年北京大学优特测试数学试题

共20个选择题,60分钟,考试日期为2017年5月14日.

1、数列 \(\{a_n\}\) 满足 \( a_1=\dfrac 23 \),\( a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2(2n+1)a_n+1} \),则数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( 2017 \) 项和 \( S_{2017}=\) (        )


A.\(\dfrac{2016}{2017}\)

B.\(\dfrac{2017}{2018}\)

C.\(\dfrac{4034}{4035}\)

D.\(\dfrac{4033}{4034}\)

2、若 \(x_1\) 是方程 \(x{\rm e}^x={\rm e}^2\) 的解,\(x_2\) 是方程 \(x\ln x={\rm e}^2\) 的解,则 \(x_1x_2=\)(        )

A.\(1\)

B.\({\rm e}\)

C.\({\rm e}^2\)

D.\({\rm e}^4\)

3、\(9\tan 10^\circ+2\tan 20^\circ+4\tan 40^\circ-\tan 80^\circ=\)(        )

A.\(0\)

B.\(\dfrac{\sqrt 3}3\)

C.\(1\)

D.\(\sqrt 3\)

4、若对任意使得关于 \(x\) 的方程 \(ax^2+bx+c=0\)(\(ac\ne 0\))有实数解的 \(a,b,c\) 均有 \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant rc^2\),则实数 \(r\) 的最大值是(        )

A.\(1\)

B.\(\dfrac 98\)

C.\(\dfrac{9}{16}\)

D.\(2\)

5、设函数 \(f(x)=x^2+ax+b\),对于任意的 \(a,b\in\mathbb R\),总存在 \(x\in [0,4]\) 使得 \(|f(x)|\geqslant m\) 成立,则实数 \(m\) 的取值范围是(        )

A.\(\left(-\infty,\dfrac 12\right]\)

B.\(\left(-\infty,1\right]\)

C.\(\left(-\infty,2\right]\)

D.\(\left(-\infty,4\right]\)

6、已知数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式是 \(a_n=2^n\),数列 \(\{b_n\}\) 的通项公式为 \(b_n=5n-2\),那么集合 \(\{a_1,a_2,\cdots,a_{2019}\}\cap\left\{b_i \mid i\in\mathbb N^{\ast}\right\}\) 中的元素个数为(        )

A.\(503\)

B.\(504\)

C.\(505\)

D.\(506\)

7、过原点的直线 \(l\) 与双曲线 \(xy=-2\sqrt 2\) 交于 \(P,Q\) 两点,其中 \(P\) 在第二象限,\(Q\) 在第四象限,现将上下两个半平面沿 \(x\) 轴方向折成直二面角,则 \(|PQ|\) 的最小值是(        )

A.\(2\sqrt 2\)

B.\(4\)

C.\(3\sqrt 2\)

D.\(4\sqrt 2\)

8、数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\),\(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}\),若 \(a_{2017}\in (k,k+1)\),其中 \(k\in\mathbb N^{\ast} \),则 \( k\) 的值是(        )

A.\(63\)

B.\(64\)

C.\(65\)

D.\(66\)

9、已知实数 \(a_i\)(\(i=1,2,3,4,5\))满足 \((a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_5)^2=1\),则 \(a_1-2a_2-a_3+2a_5\) 的最大值是(        )
A.\(2\sqrt 2\)

B.\(2\sqrt 5\)

C.\(\sqrt 5\)

D.\(\sqrt{10}\)

10、设在 \(\mathbb R\) 上可导的函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x)-f(-x)=\dfrac 13x^3\),并且在 \((-\infty,0)\) 上有 \(f'(x)<\dfrac 12x^2\),实数 \(a\) 满足 \(f(6-a)-f(a)\geqslant -\dfrac 13a^3+3a^2-18a+36\),则实数 \(a\) 的取值范围是(        )

A.\((-\infty,3]\)

B.\([3,+\infty)\)

C.\([4,+\infty)\)

D.\((-\infty,4]\)

11、桌面上有 \(3\) 个半径为 \(2017\) 的球两两相切,在其上方空隙里放一个球,使其顶点(最高点)与 \(3\) 个球的顶点在同一平面内,则该球的半径是(        )

A.\(\dfrac{2017}6\)

B.\(\dfrac{2017}4\)

C.\(\dfrac{2017}3\)

D.\(\dfrac{2017}2\)

12、\(60\) 支球队两两比赛,且一定有胜负,每队赢的概率均为 \(0.5\),设没有两队赢相同场数的概率为 \(\dfrac qp\),其中 \(p,q\) 为互质的正整数,则 \(2^n\) 可整除 \(p\) 的最大正整数 \(n\) 是(        )

A.\(1768\)

B.\(1746\)

C.\(1714\)

D.\(1702\)

13、设椭圆 \(C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)(\(a>b>0\))的左、右焦点分别为 \(F_1,F_2\),离心率为 \(\dfrac 34\),双曲线 \(C_2:\dfrac{x^2}{c^2}-\dfrac{y^2}{d^2}=1\)(\(c,d>0\))的渐近线交椭圆 \(C_1\) 于 \(P\),\(PF_1\perp PF_2\),则双曲线 \(C_2\) 的离心率是(        )

A.\(\sqrt 2\)

B.\(\dfrac {9\sqrt 2}8\)

C.\(\dfrac{9\sqrt 2}4\)

D.\(\dfrac{3\sqrt 2}2\)

14、设函数 \(f(x)=x^2-\ln x\),\(g(x)=x-1\),直线 \(y=m\) 分别交曲线 \(y=f(x)\) 和 \(y=g(x)\) 于点 \(P,Q\),则 \(|PQ|\) 的最小值为(        )

A.\(1\)

B.\(2\)

C.\(3\)

D.\(4\)

15、方程组 \(\begin{cases} x^{y^3-4y^2-11y+30}=1,\\ x+y=2\end{cases}\) 的实数解的组数是(         )

A.\(3\)

B.\(4\)

C.\(5\)

D.\(6\)

16、设实数 \(k_1,k_2\) 满足 \(k_2>k_1>0\),且 \(k_1k_2=4\),两双曲线 \(C_1,C_2\) 的渐近线分别是 \(y=\pm \dfrac {k_1}4(x-2)+2\) 和 \(y=\pm k_2(x-2)+2\),且 \(C_1,C_2\) 都经过原点,则双曲线 \(C_1,C_2\) 的离心率 \(e_1,e_2\) 的比值 \(\dfrac{e_1}{e_2}\) 是(        )

A.\(\sqrt{\dfrac{16+k_1^2}{16+16k_2^2}}\)

B.\(\sqrt{\dfrac{16+16k_1^2}{16+k_2^2}}\)

C.\(1\)

D.\(2\)

17、已知圆 \(C_1,C_2\) 均过点 \((3,4)\),且其半径之积 \(r_1r_2=80\).若 \(x\) 轴是 \(C_1,C_2\) 的公切线,且 \(C_1,C_2\) 的另一条公切线 \(l\) 通过原点,则 直线 \(l\) 的斜率为(        )

A.\(\pm\dfrac{8\sqrt 5}{11}\)

B.\(-\dfrac{8\sqrt 5}{11}\)

C.\(\pm\dfrac{8\sqrt 3}{15}\)

D.\(-\dfrac {8\sqrt 3}{15}\)

18、在 \(\triangle ABC\) 中,\(\cos A+\sqrt 2\cos B+\sqrt 2\cos C\) 的最大值是(        )

A.\(\sqrt 2+\dfrac 12\)

B.\(2\sqrt 2-1\)

C.\(2\)

D.\(2\sqrt 2\)

19、两个相同的正四面体,四面分别标有 \(1,2,3,4\),某人每次同时投掷这两个正四面体,规定每次两个底面数字之和为所得数字,共投掷 \(3\) 次,则 \(3\) 次所得数字之积能被 \(10\) 整数的概率是(        )

A.\(\dfrac 12\)

B.\(\dfrac 38\)

C.\(\dfrac{11}{32}\)

D.\(\dfrac{15}{32}\)

20、在圆锥中,\(M\) 是顶点,\(O\) 是底面中心,\(A\) 在底面圆周上,\(B\) 在底面圆内,\(|MA|=6\),\(AB\perp OB\),\(OH\perp MB\) 于 \(H\),\(C\) 为 \(MA\) 的中点,当四面体 \(O-CHM\) 的体积最大时,\(|BH|=\)(        )

A.\(\dfrac{\sqrt{66}}{11}\)

B.\(\dfrac{\sqrt{66}}{22}\)

C.\(\sqrt 6\)

D.\(\dfrac{\sqrt 6}2\)


参考答案

1-5  CCABC

6-10 CBADA

11-15 CCBAB

16-20 CBCDD

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2017年北京大学优特测试数学试题》有 6 条评论

  1. wenshengli说:

    15题应该选A

  2. wenshengli说:

    您好,第6题应该有问题,感觉应该是\a_n=2n

  3. cbc123e说:

    如果在某个时候能给出试题的详细解析,则是如我这类读者的最大愿望和祈求了!

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