2017年北京大学优特测试数学试题

共20个选择题，60分钟，考试日期为2017年5月14日．

1、数列 \(\{a_n\}\) 满足 \( a_1=\dfrac 23 \)，\( a_{n+1}=\dfrac{a_n}{2(2n+1)a_n+1} \)，则数列 \( \{a_n\} \) 的前 \( 2017 \) 项和 \( S_{2017}=\) （        ）

A．\(\dfrac{2016}{2017}\)

B．\(\dfrac{2017}{2018}\)

C．\(\dfrac{4034}{4035}\)

D．\(\dfrac{4033}{4034}\)

2、若 \(x_1\) 是方程 \(x{\rm e}^x={\rm e}^2\) 的解，\(x_2\) 是方程 \(x\ln x={\rm e}^2\) 的解，则 \(x_1x_2=\)（        ）

A．\(1\)

B．\({\rm e}\)

C．\({\rm e}^2\)

D．\({\rm e}^4\)

3、\(9\tan 10^\circ+2\tan 20^\circ+4\tan 40^\circ-\tan 80^\circ=\)（        ）

A．\(0\)

B．\(\dfrac{\sqrt 3}3\)

C．\(1\)

D．\(\sqrt 3\)

4、若对任意使得关于 \(x\) 的方程 \(ax^2+bx+c=0\)（\(ac\ne 0\)）有实数解的 \(a,b,c\) 均有 \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geqslant rc^2\)，则实数 \(r\) 的最大值是（        ）

A．\(1\)

B．\(\dfrac 98\)

C．\(\dfrac{9}{16}\)

D．\(2\)

5、设函数 \(f(x)=x^2+ax+b\)，对于任意的 \(a,b\in\mathbb R\)，总存在 \(x\in [0,4]\) 使得 \(|f(x)|\geqslant m\) 成立，则实数 \(m\) 的取值范围是（        ）

A．\(\left(-\infty,\dfrac 12\right]\)

B．\(\left(-\infty,1\right]\)

C．\(\left(-\infty,2\right]\)

D．\(\left(-\infty,4\right]\)

6、已知数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式是 \(a_n=2^n\)，数列 \(\{b_n\}\) 的通项公式为 \(b_n=5n-2\)，那么集合 \(\{a_1,a_2,\cdots,a_{2019}\}\cap\left\{b_i \mid i\in\mathbb N^{\ast}\right\}\) 中的元素个数为（        ）

A．\(503\)

B．\(504\)

C．\(505\)

D．\(506\)

7、过原点的直线 \(l\) 与双曲线 \(xy=-2\sqrt 2\) 交于 \(P,Q\) 两点，其中 \(P\) 在第二象限，\(Q\) 在第四象限，现将上下两个半平面沿 \(x\) 轴方向折成直二面角，则 \(|PQ|\) 的最小值是（        ）

A．\(2\sqrt 2\)

B．\(4\)

C．\(3\sqrt 2\)

D．\(4\sqrt 2\)

8、数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}\)，若 \(a_{2017}\in (k,k+1)\)，其中 \(k\in\mathbb N^{\ast} \)，则 \( k\) 的值是（        ）

A．\(63\)

B．\(64\)

C．\(65\)

D．\(66\)

9、已知实数 \(a_i\)（\(i=1,2,3,4,5\)）满足 \((a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_5)^2=1\)，则 \(a_1-2a_2-a_3+2a_5\) 的最大值是（        ）
A．\(2\sqrt 2\)

B．\(2\sqrt 5\)

C．\(\sqrt 5\)

D．\(\sqrt{10}\)

10、设在 \(\mathbb R\) 上可导的函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x)-f(-x)=\dfrac 13x^3\)，并且在 \((-\infty,0)\) 上有 \(f'(x)<\dfrac 12x^2\)，实数 \(a\) 满足 \(f(6-a)-f(a)\geqslant -\dfrac 13a^3+3a^2-18a+36\)，则实数 \(a\) 的取值范围是（        ）

A．\((-\infty,3]\)

B．\([3,+\infty)\)

C．\([4,+\infty)\)

D．\((-\infty,4]\)

11、桌面上有 \(3\) 个半径为 \(2017\) 的球两两相切，在其上方空隙里放一个球，使其顶点（最高点）与 \(3\) 个球的顶点在同一平面内，则该球的半径是（        ）

A．\(\dfrac{2017}6\)

B．\(\dfrac{2017}4\)

C．\(\dfrac{2017}3\)

D．\(\dfrac{2017}2\)

12、\(60\) 支球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率均为 \(0.5\)，设没有两队赢相同场数的概率为 \(\dfrac qp\)，其中 \(p,q\) 为互质的正整数，则 \(2^n\) 可整除 \(p\) 的最大正整数 \(n\) 是（        ）

A．\(1768\)

B．\(1746\)

C．\(1714\)

D．\(1702\)

13、设椭圆 \(C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)（\(a>b>0\)）的左、右焦点分别为 \(F_1,F_2\)，离心率为 \(\dfrac 34\)，双曲线 \(C_2:\dfrac{x^2}{c^2}-\dfrac{y^2}{d^2}=1\)（\(c,d>0\)）的渐近线交椭圆 \(C_1\) 于 \(P\)，\(PF_1\perp PF_2\)，则双曲线 \(C_2\) 的离心率是（        ）

A．\(\sqrt 2\)

B．\(\dfrac {9\sqrt 2}8\)

C．\(\dfrac{9\sqrt 2}4\)

D．\(\dfrac{3\sqrt 2}2\)

14、设函数 \(f(x)=x^2-\ln x\)，\(g(x)=x-1\)，直线 \(y=m\) 分别交曲线 \(y=f(x)\) 和 \(y=g(x)\) 于点 \(P,Q\)，则 \(|PQ|\) 的最小值为（        ）

A．\(1\)

B．\(2\)

C．\(3\)

D．\(4\)

15、方程组 \(\begin{cases} x^{y^3-4y^2-11y+30}=1,\\ x+y=2\end{cases}\) 的实数解的组数是（         ）

A．\(3\)

B．\(4\)

C．\(5\)

D．\(6\)

16、设实数 \(k_1,k_2\) 满足 \(k_2>k_1>0\)，且 \(k_1k_2=4\)，两双曲线 \(C_1,C_2\) 的渐近线分别是 \(y=\pm \dfrac {k_1}4(x-2)+2\) 和 \(y=\pm k_2(x-2)+2\)，且 \(C_1,C_2\) 都经过原点，则双曲线 \(C_1,C_2\) 的离心率 \(e_1,e_2\) 的比值 \(\dfrac{e_1}{e_2}\) 是（        ）

A．\(\sqrt{\dfrac{16+k_1^2}{16+16k_2^2}}\)

B．\(\sqrt{\dfrac{16+16k_1^2}{16+k_2^2}}\)

C．\(1\)

D．\(2\)

17、已知圆 \(C_1,C_2\) 均过点 \((3,4)\)，且其半径之积 \(r_1r_2=80\)．若 \(x\) 轴是 \(C_1,C_2\) 的公切线，且 \(C_1,C_2\) 的另一条公切线 \(l\) 通过原点，则 直线 \(l\) 的斜率为（        ）

A．\(\pm\dfrac{8\sqrt 5}{11}\)

B．\(-\dfrac{8\sqrt 5}{11}\)

C．\(\pm\dfrac{8\sqrt 3}{15}\)

D．\(-\dfrac {8\sqrt 3}{15}\)

18、在 \(\triangle ABC\) 中，\(\cos A+\sqrt 2\cos B+\sqrt 2\cos C\) 的最大值是（        ）

A．\(\sqrt 2+\dfrac 12\)

B．\(2\sqrt 2-1\)

C．\(2\)

D．\(2\sqrt 2\)

19、两个相同的正四面体，四面分别标有 \(1,2,3,4\)，某人每次同时投掷这两个正四面体，规定每次两个底面数字之和为所得数字，共投掷 \(3\) 次，则 \(3\) 次所得数字之积能被 \(10\) 整数的概率是（        ）

A．\(\dfrac 12\)

B．\(\dfrac 38\)

C．\(\dfrac{11}{32}\)

D．\(\dfrac{15}{32}\)

20、在圆锥中，\(M\) 是顶点，\(O\) 是底面中心，\(A\) 在底面圆周上，\(B\) 在底面圆内，\(|MA|=6\)，\(AB\perp OB\)，\(OH\perp MB\) 于 \(H\)，\(C\) 为 \(MA\) 的中点，当四面体 \(O-CHM\) 的体积最大时，\(|BH|=\)（        ）

A．\(\dfrac{\sqrt{66}}{11}\)

B．\(\dfrac{\sqrt{66}}{22}\)

C．\(\sqrt 6\)

D．\(\dfrac{\sqrt 6}2\)

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参考答案

1-5  CCABC

6-10 CBADA

11-15 CCBAB

16-20 CBCDD