每日一题[1015]同呼吸共命运

已知$f(x)=ax-m$($m\in\mathbb N^*$)，$g(x)=\ln\dfrac xa$，若对任意$x\in\mathbb N^*$均有$f(x)\cdot g(x)\geqslant 0$，求实数$a$的取值范围．

分析与解　显然$a>0$，不等式即\[a\left(x-\dfrac{m}{a}\right)\cdot \left(\ln x-\ln a\right)\geqslant 0.\]先考虑$x$是实数的情形，上述不等式在$\dfrac {m}a$和$a$之间(不包含端点)不成立．因此题意即在这两个数之间不存在正整数．

情形一　$m=k^2$，$k\in\mathbb N^*$．此时$a$只能取$k$．

情形二　$k^2<m<(k+1)^2$．此时因为$a,\dfrac ma$的乘积为$m$，所以$a,\dfrac ma$界于$k,k+1$之间，即\[\begin{cases} k\leqslant a\leqslant k+1,\\k\leqslant \dfrac ma\leqslant k+1,\end{cases} \]从而有\[\max\left\{k,\dfrac m{k+1}\right\}\leqslant a\leqslant \min\left\{k+1,\dfrac{m}{k}\right\}.\]

综上所述，实数$a$的取值范围是\[\begin{cases} k,&m=k^2,k\in\mathbb N^*,\\ \left[\max\left\{k,\dfrac m{k+1}\right\}, \min\left\{k+1,\dfrac{m}{k}\right\}\right],&k^2<m<(k+1)^2,k\in\mathbb N^*.\end{cases}\]

注　由上面的结论知，当$m>k(k+1)$时，$a\in\left[\dfrac m{k+1},k+1\right]$；当$m\leqslant k(k+1)$时，$a\in\left[k,\dfrac mk\right]$．特别地，如果取$m=2017>44\cdot 45$，则$a$的取值范围是$\left[\dfrac {2017}{45},45\right]$．