设函数$f\left( x \right)$是定义在${\mathbb{R}}$上的奇函数，且对任意的${x_1}, {x_2} \in \left[ {1 ,a} \right]$，当${x_2} > {x_1}$时，总有$f\left( {{x_2}} \right) > f\left( {{x_1}} \right) > 0$，则下列不等式一定成立的是__________（填上你认为正确的结论的序号）：
(1)$f\left( a \right) > f\left( 0 \right)$；
(2)$f\left( {\dfrac{{1 + a}}{2}} \right) > f\left( {\sqrt a } \right)$；
(3)$f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - 3} \right)$；
(4)$f\left( {\dfrac{{1 - 3a}}{{1 + a}}} \right) > f\left( { - a} \right)$．
已知$f(x) =\begin{cases}\lg \left( x + 1 \right) + 1 ,x \geqslant 0\\\lg \left( 1 - x \right) + 1 ,x < 0 \end{cases}$，若不等式$f\left( {ax - 1} \right) > f\left( {x - 2} \right)$在$\left[ {3,4} \right]$上有解，则实数$a$的取值范围为_________．
已知三棱锥$S - ABC$的底面$ABC$为正三角形，点$A$在侧面$SBC$上的射影$H$是$\triangle SBC$的垂心，二面角$H - AB - C$为$30^\circ $，且$SA = 2$，则此三棱锥的体积为( )
A．$\dfrac{1}{2}$
B．$\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$
C．$\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}$
D．$\dfrac{3}{4}$
已知$a_1,a_2,\cdots,a_{10}$为大于零的正实数，且$${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{10}} = 30,{a_1}{a_2} \cdots {a_{10}} < 21,$$求证：$a_1,a_2,\cdots,a_{10}$中必有一个数在$(0,1)$之间．
1．求圆$\begin{cases}(x-4)^2+(y-7)^2+(z+1)^2=36,\\ 3x+y-z=9,\end{cases}$的圆心和半径．
从$O$点发出两条射线${l_1},{l_2}$，已知直线$l$分别交${l_1},{l_2}$于$A,B$两点，且${S_{\triangle OAB}} = c$（$c$为定值），记$AB$中点为$D$，$D$随着$A,B$的运动构成轨迹$\Gamma$．
求证：(1)$D$的轨迹$\Gamma$关于$\angle AOB$的角平分线反射对称；
(2)轨迹$\Gamma$为双曲线．
在$\triangle ABC$中，$AB = 2AC$，$AD$是$A$的角平分线，且$AD = kAC$.
(1) 求$k$的取值范围;
(2) 若${S_{\triangle ABC}} = 1$，问$k$为何值时，$BC$最短？
实数${a_1} , {a_2} , \cdots,{a_{2017}}$满足${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{2017}} = 0$，且$$\left| {{a_1} - 2{a_2}} \right| = \left| {{a_2} - 2{a_3}} \right| = \cdots = \left| {{a_{2016}} - 2{a_{2017}}} \right|= \left| {{a_{2017}} - 2{a_1}} \right|.$$求证：${a_1} = {a_2} = \cdots = {a_{2017}} = 0$．
在$6 \times 6$的表中停放$3$辆完全相同的红色车和$3$辆完全相同的黑色车，每一行、每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有（ ）种停放方法．
A．$720$
B．$518400$
C．$20$
D．$14400$
定义在${\bf{R}}$上的函数$f\left( x \right) = \dfrac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}$，$${S_n} = f\left( {\dfrac{1}{n}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{n}} \right) + \cdots + f\left( {\dfrac{{n - 1}}{n}} \right),n = 2,3, \cdots .$$(1) 求${S_n}$；
(2) 是否存在常数$M > 0$，$\forall n \geqslant 2$，有$$\dfrac{1}{{{S_2}}} + \dfrac{1}{{{S_3}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{S_{n + 1}}}} \leqslant M.$$
