Math173

从$O$点发出两条射线${l_1},{l_2}$，已知直线$l$分别交${l_1},{l_2}$于$A,B$两点，且${S_{\triangle OAB}} = c$（$c$为定值），记$AB$中点为$D$，$D$随着$A,B$的运动构成轨迹$\Gamma$．

求证：(1)$D$的轨迹$\Gamma$关于$\angle AOB$的角平分线反射对称；

(2)轨迹$\Gamma$为双曲线．

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在$\triangle ABC$中，$AB = 2AC$，$AD$是$A$的角平分线，且$AD = kAC$.

(1) 求$k$的取值范围;

(2) 若${S_{\triangle ABC}} = 1$，问$k$为何值时，$BC$最短？

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实数${a_1} , {a_2} , \cdots,{a_{2017}}$满足${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{2017}} = 0$，且$$\left| {{a_1} - 2{a_2}} \right| = \left| {{a_2} - 2{a_3}} \right| = \cdots = \left| {{a_{2016}} - 2{a_{2017}}} \right|= \left| {{a_{2017}} - 2{a_1}} \right|.$$求证：${a_1} = {a_2} = \cdots = {a_{2017}} = 0$．

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在$6 \times 6$的表中停放$3$辆完全相同的红色车和$3$辆完全相同的黑色车，每一行、每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有（　　）种停放方法．

A．$720$
B．$518400$
C．$20$
D．$14400$

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定义在${\bf{R}}$上的函数$f\left( x \right) = \dfrac{{{4^x}}}{{{4^x} + 2}}$，$${S_n} = f\left( {\dfrac{1}{n}} \right) + f\left( {\dfrac{2}{n}} \right) + \cdots + f\left( {\dfrac{{n - 1}}{n}} \right),n = 2,3, \cdots .$$(1) 求${S_n}$； 

(2) 是否存在常数$M > 0$，$\forall n \geqslant 2$，有$$\dfrac{1}{{{S_2}}} + \dfrac{1}{{{S_3}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{S_{n + 1}}}} \leqslant M.$$

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在$\triangle ABC$中，$\tan A:\tan B:\tan C = 1:2:3$，求$\dfrac{{AC}}{{AB}}$．

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如图，曲线$y = \sqrt x $上的点${P_i}\left( {i = 1, 2, \cdots , n, \cdots } \right)$与$x$轴正半轴上的点${Q_i}$及原点$O$构成一系列正三角形${P_i}{Q_{i-1}}{Q_i}({Q_0} = O)$，记${a_n} = \left| {{Q_n}{Q_{n-1}}} \right|$．

(1)求${a_1}$的值；

(2)求数列$\{ {a_n}\} $的通项公式；

(3)求证：当$n \geqslant 2$时，$$\dfrac{1}{{{a_n}^2}} + \dfrac{1}{{{a_{n + 1}}^2}} + \cdots + \dfrac{1}{{{a_{2n}}^2}} < \dfrac{3}{2}.$$

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在棱长为$a$的正方体$ABCD - {A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$中，$E$为棱$AB$的中点．

(1)求四面体$E - {B_1}{D_1}C$的体积；

(2)求点$C$到平面$EA_1C_1$的距离．

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如图，已知$A,B$两点在椭圆$C:\dfrac{{{x^2}}}{m} + {y^2} = 1$（$m > 1$），直线$AB$上两个不同的点$P,Q$满足$\left| {AP} \right|:\left| {PB} \right| = \left| {AQ} \right|:\left| {QB} \right|$，且$P$点的坐标为$\left( {1, 0} \right)$，求点$Q$的轨迹方程．

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