(2011年广东卷)设$b>0$，数列$\{a_n\}$满足$a_1=b$，$a_n=\dfrac{nba_{n-1}}{a_{n-1}+2n-2}$($n\geqslant 2$，$n\in\mathcal N^*$)．
(1) 求数列$\{a_n\}$的通项公式；
(2) 证明：对于一切正整数$n$，$a_n\leqslant \dfrac{b^{n+1}}{2^{n+1}} +1$．
已知适合不等式$\left|x^2-4x+a\right|+|x-3|\leqslant 5$的$x$的最大值为$3$，求实数$a$的值，并解该不等式．
阶梯教室安装的连体课桌一行坐$6$个人，考生只能从课桌两头走出考场，考生交卷时间先后不一，如果坐在里面的考生要先交卷就需要打扰别人，把一行考生中打扰别人交卷的人数视为随机变量$X$，求$X$的数学期望．
先发高能预警！
1．已知$A,B,C$是锐角，且$\tan A+\tan B+\tan C=1$，求证：$\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C\leqslant \dfrac 95$． 继续阅读
过双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>0,b>0$)的一个焦点$F$作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于$A,B$两点，若$|AB|=2a$，双曲线的离心率为$e$，则$\left[e^2\right]=$_______．
2011年北京市朝阳区高考二模：
若集合$B$是集合$A=\{1,2,3,\cdots ,23\}$的$12$元子集，且存在$a,b\in B$，$b<a$，$b\mid a$，则称$B$为“和谐集”．求最大的$m\in A$，使包含$m$的集合$A$的有$12$个元素的任意子集为“和谐集”．
若函数$f(x)=2{\rm e}^x-ax^2+(a-2{\rm e})x$有三个不同的零点，则实数$a$的取值范围是________．
2011年广东卷高考数学理科第21题（压轴题）：
在平面直角坐标系$xOy$上，给定抛物线$L:y=\dfrac 14x^2$．实数$p,q$满足$p^2-4q\geqslant 0$，$x_1,x_2$是方程$x^2-px+q=0$的两根，记$\varphi(p,q)=\max\{|x_1|,|x_2|\}$．
(1) 过点$A\left(p_0,\dfrac 14p_0^2\right)$($p_0\neq 0$)作$L$的切线交$y$轴于点$B$．证明：对线段$AB$上的任一点$Q(p,q)$，有$\varphi(p,q)=\dfrac 12|p_0|$；
(2) 设$M(a,b)$是定点，其中$a,b$满足$a^2-4b>0$，$a\neq 0$．过$M(a,b)$作$L$的两条切线$l_1,l_2$，切点分别为$E\left(p_1,\dfrac 14p_1^2\right)$，$E'\left(p_2,\dfrac 14p_2^2\right)$，$l_1,l_2$与$y$轴分别交于$F,F'$．线段$EF$上异于两端点的点集记为$X$．证明：$M(a,b)\in X\Leftrightarrow |p_1|>|p_2|\Leftrightarrow \varphi(a,b)=\dfrac 12|p_1|$；
(3) 记$D=\left\{(x,y)\mid y\leqslant x-1,y\geqslant \dfrac 14(x+1)^2-\dfrac 54\right\}$，当$(p,q)$取遍$D$时，求$\varphi(p,q)$的最小值(记为$\varphi_{\min}$)和最大值(记为$\varphi_{\max}$)．
2011年高考天津卷理科数学第20题（压轴题）：
设数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足：$b_na_n+a_{n+1}+b_{n+1}a_{n+2}=0$，$b_n=\dfrac{3+(-1)^n}2$，$n\in\mathcal N^*$，且$a_1=2$，$a_2=4$．
(1) 求$a_3,a_4,a_5$的值；
(2) 设$c_n=a_{2n-1}+a_{2n+1}$，$n\in\mathcal N^*$，求证：$\{c_n\}$是等比数列；
(3) 设$S_k=a_2+a_4+\cdots +a_{2k}$，$k\in\mathcal N^*$，求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{4n}\dfrac{S_k}{a_k}<\dfrac 76$($n\in\mathcal N^*$)．
2011年高考北京卷理科数学第8题：
设$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(t+4,4)$，$D(t,4)$($t\in\mathcal R$)．记$N(t)$为平行四边形$ABCD$内部(不包含边界)的整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则函数$N(t)$的值域是________．
