在$\triangle ABC$中，$\tan A:\tan B:\tan C = 1:2:3$，求$\dfrac{{AC}}{{AB}}$．
分析与解 设$\tan A = k$，$\tan B = 2k$，$\tan C = 3k$，$k > 0$，则$$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C.$$所以$6k = 6{k^3}$，解得$k = 1$．
因此$$\tan B = 2,\tan C = 3,$$所以$$\sin B = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }},\sin C = \dfrac{3}{{\sqrt {10} }}.$$于是$$\dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{\sin B}}{{\sin C}} = \dfrac{{\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}}}{{\dfrac{3}{{\sqrt {10} }}}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}.$$
注 三角形中有$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$成立，也可以用$$\tan C=-\tan(A+B)=-\dfrac {\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$$直接得到方程，事实上，前面的等式正是由此得到的．