(理10)已知当$x\in [0,1]$时，函数$y=(mx-1)^2$的图象与$y=\sqrt x+m$的图象有且只有一个交点，则正实数$m$的取值范围是( )
A．$(0,1]\cup \left[2\sqrt 3,+\infty\right)$
B．$(0,1]\cup \left[3,+\infty\right)$
C．$\left(0,\sqrt 2\right]\cup \left[2\sqrt 3,+\infty\right)$
D．$\left(0,\sqrt 2\right]\cup \left[3,+\infty\right)$
(理12)在矩形$ABCD$中，$AB=1$，$AD=2$，动点$P$在以点$C$为圆心且与$BD$相切的圆上，若$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}$，则$\lambda+\mu$的最大值为( )
A．$3$
B．$2\sqrt 2$
C．$\sqrt 5$
D．$2$
如图，四面体$ABCD$中，$O,E$分别是$BD,BC$的中点，$AO$垂直于平面$BCD$，且$CA = CB = CD = 2$，$AB = \sqrt 2 $，求异面直线$AB$与$ED$所成角的大小．
(题14)设$f(x)$是定义在$\mathbb R$上且周期为$1$的函数，在区间$[0,1)$上，$$f(x)=\begin{cases} x^2,&x\in D,\\ x,& x\notin D,\end{cases}$$其中集合$D=\left\{x \mid x=\dfrac{n-1}{n},n\in\mathbb N^*\right\}$，则方程$f(x)-\lg x=0$的解的个数是_______．
(题10)如图，已知平面四边形$ABCD$，$AB\perp BC$，$AB=BC=AD=2$，$CD=3$．$AC$与$BD$交于点$O$，记$I_1=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$，$I_2=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$，$I_3=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}$，则( )
A．$I_1<I_2<I_3$
B．$I_1<I_3<I_2$
C．$I_3<I_1<I_2$
D．$I_2<I_1<I_3$
(理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限$M$约为$3^{361}$，而可观测宇宙中普通物质的原子总数$N$约为$10^{80}$，则下列各数中与$\dfrac{M}{N}$最接近的是( )(参考数据$\lg 3\approx 0.48$)
A．$10^{33}$
B．$10^{53}$
C．$10^{73}$
D．$10^{93}$
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(理12)已知 $\triangle ABC$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，$P$ 为平面 $ABC$ 内一点，则 $\overrightarrow{PA}\cdot\left(\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}\right)$ 的最小值是（ ）
A．$-2$
B．$-\dfrac32$
C．$-\dfrac43$
D．$-1$
如图，已知$\triangle ABC$的面积为$2$，$D,E$分别为边$AB,AC$上的点，$F$为线段$DE$上一点，设$\dfrac{AD}{AB}=x,\dfrac{AE}{AC}=y,\dfrac{DF}{DE}=z,$ 且 $y+z-x=1$，则$\triangle BDF$面积的最大值为( )
A．$\dfrac{8}{{27}}$
B．$\dfrac{{10}}{{27}}$
C．$\dfrac{{14}}{{27}}$
D．$\dfrac{{16}}{{27}}$
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案： 已知数列$1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,\cdots ,$其中第一项是$2^0$，接下来的两项是$2^0,2^1$，再接下来的三项是$2^0,2^1,2^2$，依此类推．求满足如下条件的最小整数$N$：$N>100$且该数列的前$N$项和为$2$的整数幂．那么该款软件的激活码是 ( )
A．$440$
B．$330$
C．$220$
D．$110$
如图，已知动直线$l$经过点$P\left( {4,0} \right)$，交抛物线${y^2} = 2ax$（$a > 0$）于$A$、$B$两点．坐标原点$O$是$PQ$的中点，设直线$AQ$、$BQ$的斜率分别为${k_{AQ}}$、${k_{BQ}}$．
(1)证明：${k_{AQ}} + {k_{BQ}} = 0$；
(2)当$a = 2$时，是否存在垂直于$x$轴的直线$l'$，被以$AP$为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线$l'$的方程；若不存在，请说明理由．
